1.理解角的概念,掌握角的表示方法.2.理解平角、周角的概念,掌握角的常用度量单位:度、分、秒,及它们之间的换算关系,并会进行简单的换算.一、情境导入钟表是我们生活中常见的物品,同学们,你能说出图中每个钟表时针与分针所成的角度吗?学完了下面的内容,就会知道答案.二、合作探究探究点一:角的概念及其表示方法【类型一】 对角的概念的考查下列关于角的说法中正确的有()①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角一边的延长线上取一点;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:①角是由有公共端点的两条射线组成的图形,错误;②角的大小与开口大小有关,角的边是射线,没有长短之分,错误;③角的边是射线,不能延长,错误;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,说法正确.所以只有④正确.故选A.
方法总结:由绝对值的定义可知,一个数的绝对值越小,离原点越近.将实际问题转化为数学问题,即为与标准质量的差的绝对值越小,越接近标准质量.【类型四】 绝对值的非负性已知|x-3|+|y-2|=0,求x+y的值.解析:一个数的绝对值总是大于或等于0,即为非负数,若两个非负数的和为0,则这两个数同为0.解:由题意得x-3=0,y-2=0,所以x=3,y=2.所以x+y=3+2=5.方法总结:几个非负数的和为0,则这几个数都为0.三、板书设计绝对值相反数绝对值性质→|a|=a(a>0)0(a=0)-a(a<0)互为相反数的两个数的绝对值相等两个负数比较大小:绝对值大的反而小绝对值这个名词既陌生,又是一个不易理解的数学术语,是本章的重点内容,同时也是一个难点内容.教材从几何的角度给出绝对值的概念,也就是从数轴上表示数的点的位置出发,得出定义的.
方法总结:本题考查了利用数轴,比较数的大小关系,对于含有绝对值的式子的化简,要根据绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号.探究点四:含括号的整式的化简应用某商店有一种商品每件成本a元,原来按成本增加b元定出售价,售出40件后,由于库存积压,调整为按售价的80%出售,又销售了60件.(1)销售100件这种商品的总售价为多少元?(2)销售100件这种商品共盈利多少元?解析:(1)求出前40件的售价与后60件的售价即可确定出总售价;(2)由“利润=售价-成本”列出关系式即可得到结果.解:(1)根据题意得:40(a+b)+60(a+b)×80%=88a+88b(元),则销售100件这种商品的总售价为(88a+88b)元;(2)根据题意得:88a+88b-100a=-12a+88b(元),则销售100件这种商品共盈利(-12a+88b)元.方法总结:解决此类题目的关键是熟记去括号法则和熟练运用合并同类项的法则.
根据题意,得34%x-18%x=160,解得x=1000.所以48%x=48%×1000=480(公顷),18%x=18%×1000=180(公顷),34%x=34%×1000=340(公顷).答:玉米种了340公顷,高粱种了180公顷,水稻种了480公顷.方法总结:从扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键.语文老师对班上学生的课外阅读情况做了调查,并请数学老师制作了如图所示的统计图.(1)哪种书籍最受欢迎?(2)哪两种书籍受欢迎程度差不多?(3)图中扇形分别表示什么?(4)图中的各个百分比如何得到?所有的百分比之和是多少?解:(1)科幻书籍最受欢迎,可从扇形的大小或图中百分比的大小得出.(2)科普书籍和武侠书籍受欢迎程度差不多,可从图中扇形大小或图中所标百分比的大小得出.(3)图中扇形分别代表了最喜欢某种书籍的人数占全班人数的百分比.(4)用最喜欢某种书籍的人数比全班的总人数即可得各个百分比,所有的百分比之和为1.方法总结:由扇形统计图获取信息时,一定要明确各个项目和它们所占圆面的百分比.
【类型三】 已知方程组的解,用代入法求待定系数的值 已知x=2,y=1是二元一次方程组ax+by=7,ax-by=1的解,则a-b的值为()A.1 B.-1 C.2 D.3解析:把解代入原方程组得2a+b=7,2a-b=1,解得a=2,b=3,所以a-b=-1.故选B.方法总结:解这类题就是根据方程组解的定义求,即将解代入方程组,得到关于字母系数的方程组,解方程组即可.三、板书设计解二元一,次方程组)基本思路是“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤回顾一元一次方程的解法,借此探索二元一次方程组的解法,使得学生的探究有很好的认知基础,探究显得十分自然流畅.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想,增强学生的观察归纳能力,提高学生的学习能力.
一、情境导入上一节课我们做过:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大正方形,那么有a2=2,a=________,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫做x的平方,反过来x叫做a的什么呢?二、合作探究探究点一:算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根:(1)64;(2)214;(3)0.36;(4)412-402.解析:根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根,只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可.解:(1)∵82=64,∴64的算术平方根是8;(2)∵(32)2=94=214,∴214的算术平方根是32;(3)∵0.62=0.36,∴0.36的算术平方根是0.6;(4)∵412-402=81,又92=81,∴81=9,而32=9,∴412-402的算术平方根是3.方法总结:(1)求一个数的算术平方根时,首先要弄清是求哪个数的算术平方根,分清求81与81的算术平方根的不同意义,不要被表面现象迷惑.(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算,因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.
求证:直角三角形的两个锐角互余.解析:分析这个命题的条件和结论,根据已知条件和结论画出图形,写出已知、求证,并写出证明过程.已知:如图所示,在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A与∠B互余.证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°),又∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=90°.∴∠A与∠B互余.方法总结:解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言,画出图形,最后再经过分析论证,并写出证明的过程.三、板书设计命题分类公理:公认的真命题定理:经过证明的真命题证明:推理的过程经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的公理,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念.培养学生的语言表达能力.
解析:要在地球仪上确定南昌市的位置,需要知道它的经纬度,故选D.方法总结:本题考查了坐标确定位置,熟记位置的确定需要横向与纵向的两个数据是解题的关键.【类型二】 用“区域定位法”确定位置如图所示是某市区的部分简图,文化宫在D2区,体育场在C4区,据此说明医院在________区,阳光中学在________区.解析:本题首先给出的是表示文化宫和体育场的位置,即D2区和C4区,这就确定了本题中表示建筑物位置的方法,即字母表示列数,数字表示行数.故填A3,D5.方法总结:解此类题先要弄清区域定位法中字母及数字各自表示的含义,再用已知的表示方法来确定相关位置.三、板书设计确定位置有序实数对方位法经纬度区域定位法将现实生活中常用的定位方法呈现给学生,进一步丰富学生的数学活动经验,培养学生观察、分析、归纳、概括的能力.教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境;另一方面,为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究.
解析:想要看起来更美,则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比,此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离,再求高跟鞋的高度.解:设肚脐到脚底的距离为x m,根据题意,得x1.60=0.60,解得x=0.96.设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美,则y+0.961.60+y=0.618.解得y≈0.075,而0.075m=7.5cm.故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.易错提醒:要准确理解黄金分割的概念,较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.三、板书设计黄金分割定义:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC 和BC,如果ACAB=BCAC,那么称线段AB被点 C黄金分割黄金分割点:一条线段有两个黄金分割点黄金比:较长线段:原线段=5-12:1 经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程,通过问题情境的创设和解决过程,体会黄金分割的文化价值,在应用中进一步理解相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的兴趣.
若a,b,c都是不等于零的数,且a+bc=b+ca=c+ab=k,求k的值.解:当a+b+c≠0时,由a+bc=b+ca=c+ab=k,得a+b+b+c+c+aa+b+c=k,则k=2(a+b+c)a+b+c=2;当a+b+c=0时,则有a+b=-c.此时k=a+bc=-cc=-1.综上所述,k的值是2或-1.易错提醒:运用等比性质的条件是分母之和不等于0,往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a+b+c≠0,所以应分两种情况讨论,容易出现的错误是忽略讨论a+b+c=0这种情况.三、板书设计比例的性质基本性质:如果ab=cd,那么ad=bc如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab=cd等比性质:如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0), 那么a+c+…+mb+d+…+n=ab经历比例的性质的探索过程,体会类比的思想,提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增强学习数学的兴趣.
解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠2=∠3.又由折叠知△BC′D≌△BCD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴BE=DE.设BE=DE=x,则AE=8-x.∵在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴42+(8-x)2=x2.解得x=5,即DE=5.∴S△BED=12DE·AB=12×5×4=10.方法总结:矩形的折叠问题是常见的问题,本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足,解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析.三、板书设计矩形矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形矩形的性质四个角都是直角两组对边分别平行且相等对角线互相平分且相等经历矩形的概念和性质的探索过程,把握平行四边形的演变过程,迁移到矩形的概念与性质上来,明确矩形是特殊的平行四边形.培养学生的推理能力以及自主合作精神,掌握几何思维方法,体会逻辑推理的思维价值.
在△AEF和△DEC中,∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC.∵AF=BD,∴BD=DC;(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∴AB=AC,BD=DC,∴∠ADB=90°.∴四边形AFBD是矩形.方法总结:本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.三、板书设计矩形的判定对角线相等的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)通过探索与交流,得出矩形的判定定理,使学生亲身经历知识的发生过程,并会运用定理解决相关问题.通过开放式命题,尝试从不同角度寻求解决问题的方法.通过动手实践、合作探索、小组交流,培养学生的逻辑推理能力.
(2)如果对应着的两条小路的宽均相等,如图②,试问小路的宽x与y的比值是多少时,能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似?解析:(1)根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似;(2)根据矩形相似的条件列出等量关系式,从而求出x与y的比值.解:(1)矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下:假设两个矩形相似,不妨设小路宽为xm,则30+2x30=20+2x20,解得x=0.∵由题意可知,小路宽不可能为0,∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似;(2)当x与y的比值为3:2时,小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.理由如下:若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似,则30+2x30=20+2y20,所以xy=32.∴当x与y的比值为3:2时,小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.方法总结:因为矩形的四个角均是直角,所以在有关矩形相似的问题中,只需看对应边是否成比例,若成比例,则相似,否则不相似.
一、情境导入神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒发射,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.要读懂这段报导,你认为要知道哪些名称和术语的含义?二、合作探究探究点一:定义 下列语句属于定义的是()A.明天是晴天B.长方形的四个角都是直角C.等角的补角相等D.平行四边形是两组对边分别平行的四边形解析:作出正确选择的关键是理解定义的含义.A是对天气的预测,B是描述长方形的性质,C是描述补角的性质.只有D符合定义的概念.故选D.方法总结:定义指的是对术语和名称的含义的描述,是对一个事物区分于其他事物的本质特征的描述,而不是对其性质的判断.
已知xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项,求m和n的值.解析:根据同类项的概念,可列出含字母m和n的方程组,从而求出m和n.解:因为xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项,所以m-n+1=n-1,①3m-2n-5=1.②整理,得m-2n+2=0,③3m-2n-6=0.④④-③,得2m=8,所以m=4.把m=4代入③,得2n=6,所以n=3.所以当m=4,n=3时,xm-n+1y与-2xn-1y3m-2n-5是同类项.方法总结:解这类题,就是根据同类项的定义,利用相同字母的指数分别相等,列方程组求字母的值.三、板书设计用加减法解二元一次方程组的步骤:①变形,使某个未知数的系数绝对值相等;②加减消元;③解一元一次方程;④求另一个未知数的值,得方程组的解.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想,初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.选择恰当的方法解二元一次方程组,培养学生的观察、分析问题的能力.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC且2DE=BC.又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形.又∵EF=BE,∴四边形BCFE是菱形;(2)解:∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,∴菱形的边长为4,高为23,∴菱形的面积为4×23=83.方法总结:判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以尝试证出这个四边形是平行四边形,然后用定义法或判定定理1来证明菱形.三、板书设计菱形的判 定有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)四边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形 经历菱形的证明、猜想的过程,进一步提高学生的推理论证能力,体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
由于任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0(或<0)的形式,而此式的左边与一次函数y=ax+b的右边一致,所以从变化与对应的观点考虑问题,解一元一次不等式也可以归结为两种认识:⑴从函数值的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于0)的自变量x的取值范围。⑵从函数图像的角度看,就是确定直线y=ax+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。教学过程中,主要从以上两个角度探讨一元一次不等式与一次函数的关系。1、“动”―――学生动口说,动脑想,动手做,亲身经历知识发生发展的过程。2、“探”―――引导学生动手画图,合作讨论。通过探究学习激发强烈的探索欲望。3、“乐”―――本节课的设计力求做到与学生的生活实际联系紧一点,直观多一点,动手多一点,使学生兴趣高一点,自信心强一点,使学生乐于学习,乐于思考。4、“渗”―――在整个教学过程中,渗透用联系的观点看待数学问题的辨证思想。
一.说教材我今天说课的内容是义务教育课程标准北师大版七年级下册第四单元第二节的《用关系式表示的变量间关系》。在上节课的学习中学生已通过分析表格中的数据,感受到变量之间的相依关系,并用自己的语言加以描述,初步具有了有条理的思考和表达的能力,为本节的深入学习奠定了基础。二.说教学目标本节课根据新的教学理念和学生需要掌握的知识,确立本节课的三种教学目标:知识与能力目标:根据具体情况,能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值。过程与方法目标:经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感。情感态度与价值观目标:通过研究,学习培养抽象思维能力和概括能力,通过对自变量和因变量关系的表达,培养数学建模能力,增强应用意识。
解析:熟记常见几何体的三种视图后首先可排除选项A,因为长方体的三视图都是矩形;因为所给的主视图中间是两条虚线,故可排除选项B;选项D的几何体中的俯视图应为一个梯形,与所给俯视图形状不符.只有C选项的几何体与已知的三视图相符.故选C.方法总结:由几何体的三种视图想象其立体形状可以从如下途径进行分析:(1)根据主视图想象物体的正面形状及上下、左右位置,根据俯视图想象物体的上面形状及左右、前后位置,再结合左视图验证该物体的左侧面形状,并验证上下和前后位置;(2)从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线.在得出原立体图形的形状后,也可以反过来想象一下这个立体图形的三种视图,看与已知的三种视图是否一致.探究点四:三视图中的计算如图所示是一个工件的三种视图,图中标有尺寸,则这个工件的体积是()A.13πcm3 B.17πcm3C.66πcm3 D.68πcm3解析:由三种视图可以看出,该工件是上下两个圆柱的组合,其中下面的圆柱高为4cm,底面直径为4cm;上面的圆柱高为1cm,底面直径为2cm,则V=4×π×22+1×π×12=17π(cm3).故选B.
(一)导入新课三角形全等的判定中AA S 和ASA对应于相似三 角形的判定的判定定理1,SAS对应于相似三 角形的判定的判定定理2,那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确,这就是本节研究的内容.(板书)(二) 做一做画△ABC与△A′B′C′,使 、 和 都等 于给定的值k.(1)设法比较∠A与∠A′的大小;(2)△ABC与△A′B′C′相似吗?说说你的理由.改变k值的大小,再试一试.定理3:三边:成比例的两个三 角形相似.(三)例题学习例:如图,在△ABC和△ADE中,ABAD=BCDE=ACAE ,∠BAD=20°,求∠CAE的度数.解:∵ABAD=BCDE=ACAE ,∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC =∠D AE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°,∴∠CAE=20°. 三、巩固练习四、小结本节学 习了相似三角形的判定定理3,使用时一定要注意它使用的条件.
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