抛物线及其标准方程教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．

B.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．

C.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．

D.抛物线的简单应用

1.数学抽象：抛物线的定义

2.逻辑推理：抛物线标准方程的推导

3.数学运算：根据条件求抛物线标准方程

4.直观想象：抛物线的定义的运用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线．

如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线．

1.抛物线的定义

究

概念形成

比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？

同椭圆双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程。如图为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为

设M 是抛物线上一点，则M到F的距离为则M到直线的距离为,

所以=

上式两边平方，整理可得=2 ①

建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表

2．抛物线的标准方程

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线． ( )

(2)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)． ( )

(3)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y． ( )

[提示] (1) (2) (3)√

2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )

A．1 B．2 C．4 D．8

C [由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]

3．抛物线x＝4y2的准线方程是( )

A．y＝ B．y＝－1

C．x＝－ D．x＝

C [由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]

4．抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为________．

[把方程化为标准形式为x2＝y，

所以焦点在y轴上，坐标为.]

二、典例解析

例1. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)准线方程为2y＋4＝0；

(2)过点(3，－4)；

(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

[思路探究] →

→→.

[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，

故抛物线焦点在y轴的正半轴上，

设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，

∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.

(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，

得(－4)2＝2p3,32＝－2p1(－4)，即2p＝，2p1＝.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.

(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.

∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题

(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；

(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；

(3)注意p与的几何意义．

跟踪训练1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为y＝；

(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；

(3)经过点(－3，－1)；

(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．

[解] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，

则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.

(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.

(3)∵点(－3，－1)在第三象限，

∴设所求抛物线的标准方程为

y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．

若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，

则由(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝；

若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，

则由(－3)2＝－2p(－1)，解得p＝.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.

(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；

令y＝0，得x＝4，

∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．

当焦点为(0，－3)时，＝3，

∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；

当焦点为(4,0)时，＝4，

∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.

例2. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m．

（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，

求此时星波束反射聚集点的坐标．

典例解析

解：（1）以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，

设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），

代入点（0.5，2.4），可得2.42＝2p•0.5，

解得p＝5.76，即抛物线的方程为y2＝11.52x，

焦点为（2.88，0）；

（2）设抛物线的方程为y2＝2mx（m＞0），

代入点（0.5，2.6），可得2.62＝2m•0.5，解得m＝6.76，

即有抛物线的方程为y2＝13.52x，焦点为（3.38，0）．

求解抛物线实际应用题的步骤

跟踪训练2.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．

[解] 以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．

设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．

∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为.

由点B在抛物线上，得＝－2p，

∴p＝.∴抛物线方程为x2＝－ay.

设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，

代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，

∴y0＝－，

∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，

令h＞3，则－＞3，

解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．

∴a的最小整数值为13.

类比椭圆和双曲线的学习，制定研究路线图。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过抛物线标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，熟练掌握根据条件求抛物线的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )

A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y

B [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，

解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.]

2．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )

A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线

D [由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.]

3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．

6 [由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，

可知所求距离为4＋2＝6.]

4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米

2 [建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．

5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．

[解] 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.

由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．

6.若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．

[解]由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比

它到y轴的距离大，

所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．

由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，

l为准线的抛物线(不包含原点)，

其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，

而＝，所以p＝1,2p＝2，

故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。