抛物线的简单几何性质（1）教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握抛物线的简单几何性质.

B.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.

C.掌握直线与抛物线位置关系的判断。

1.数学抽象：抛物线的几何性质

2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质

3.数学运算：运用抛物线的方程推导其几何性质

4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，

y2 = 2px (p＞0)

你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？

1. 范围

抛物线 y2 = 2px (p＞0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标 (x, y) 的横坐标满足不等式 x ≥ 0；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．

2. 对称性

观察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．

3. 顶点

抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0, 0) ．

4. 离心率

抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率. 用 e 表示，e = 1．

探究

如果抛物线的标准方程是

那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？

抛物线四种形式的标准方程及其性质

1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,

其共同点:(1)顶点都为原点;

(2)对称轴为坐标轴;

(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的;

(4)焦点到准线的距离均为p.

其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.

2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.

1. 判断

(1)抛物线关于顶点对称.( )

(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )

(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )

答案:(1) (2)√ (3)√

2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?

解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.

如果x是一次项,负时向左,正时向右.

3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )

A.y2=8x B.y2=-8x

C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y

解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.

答案:C

问题思考

(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?

提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.

(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?

提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.

二、典例解析

例3. 已知轴，顶点是坐标原点，并且经过点M

求它的标准方程。

解：因为轴，它的顶点在原点，并且经过点M，所以可设它的标准方程为

因为点M

解得=因此，所求抛物线的标准方程是

顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程。

跟踪训练1 .设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.

错解:由y=mx2(m≠0)可知其准线方程为y=-.

由题意知-=-2,解得m=8,

故所求抛物线的标准方程为y=8x2.

错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;

二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.

正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=y,其准线方程为y=-.由题意知-=-2或-=4,

解得m=或m=-,

故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.

例4 .斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 = 4x 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．

解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)，

所以直线AB的方程为，即， ①

将方程①代入抛物线方程，化简得，

解这个方程，得，，

将，代入方程①中，

，，即A(，)，B(，)，

∴.

解：方法二：由抛物线的定义可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|= x2＋1，

于是|AB|=|AF|＋|BF|= x1＋x2＋2．

在方法一中得到方程x2－6x＋1=0后，

根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6，

于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．

方法三：抛物线y2＝4x中2p＝4，直线的

倾斜角为所以焦点弦长.

直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离

将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于 x（或 y 的）

方程组：Ax2 + Bx + C = 0（或Ay2 + By + C = 0），其中A，B，C 为常数.

若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；

若A ≠ 0，计算判别式 Δ＝B2 －4AC ：

若 Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；

若 Δ = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；

若 Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.

跟踪训练2 (1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？

(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．

[思路探究] (1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意．

(2)→

→分类讨论方程有一解时a的取值

[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．

当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；

当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.故满足条件的直线有三条．

(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0 ①.

(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解

(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．

令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.

所以原方程组有唯一解

综上，实数a的取值集合是.

通过，类比椭圆和双曲线的几何性质的学习过程，学习抛物线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过抛物线几何性质的讨论，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，熟练掌握根据几何条件求抛物线的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

通过典型例题，熟练掌握直线与抛物线的位置关系的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )

A． B． C． D．

A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]

2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )

A．(4，2) B．(4，2) C．(2,4) D．(2，4)

D [抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有

⇒⇒

所以符合题意的点为(2，4)．]

3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．

[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝.

∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，

∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.]

4. 已知抛物线y2=8x.

(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;

(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.

解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.

(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,

又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),代入y2=8x得m2=24, 所以m=2或m=-2,所以A(3,2),B(3,-2),所以|OA|=|OB|=,所以△OAB的周长为2+4.

5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

[解] (1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，

由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，

∴x1＋x2＝.

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

解得k＝1，所以k的值为1或－1.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。