双曲线及其标准方程教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握双曲线的标准方程及其求法.

B.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.

C.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.

1.数学抽象：双曲线的定义

2.逻辑推理：运用定义推导双曲线的标准方程

3.数学运算：双曲线标准方程的求法

4.数学建模：运用双曲线解法实际问题

5.直观想象：双曲线及其标准方程

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情景导学

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

1.双曲线的定义

从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。

以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，

此时双曲线的焦点分别为

且与①右边同时取正号或负号，①+ 整理得

=+ ③

将③式平方再整理得 ④

因为 ，所以>0

设=

且,则④可化为 (>0，>0)

设双曲线的焦点为 ，焦距为，而且双曲线上的动点P满足

2a其中，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；双曲线的标准方程是什么？

2.双曲线的标准方程

双曲线与椭圆的比较

1.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的?

提示:①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).

②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.

③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.

2.判断

(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )

(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )

(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )

答案:(1) (2) (3)

3.过点(1,1),且的双曲线的标准方程是( )

A.-y2=1 B.-x2=1

C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1

解析:∵,∴b2=2a2.

当焦点在x轴上时,设双曲线方程为=1,

将点(1,1)代入方程中,得a2=.

此时双曲线的标准方程为-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-x2=1.答案:D

二、典例解析

例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);

(2)经过两点A(-7,-6),B(2,3).

分析(1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到.(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.

解:(1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

则a=2=1,解得b2=16,则双曲线的标准方程为=1.

(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,

则有解得则双曲线的标准方程为=1.

求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.

跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2);

(2)过点P,Q且焦点在坐标轴上.

解:(1)因为焦点在x轴上,

可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

将点(4,-2)和(2,2)代入方程得

解得a2=8,b2=4,

所以双曲线的标准方程为=1.

(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.

因为点P,Q在双曲线上,

则解得

故双曲线的标准方程为=1.

跟踪训练2. “神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.

解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.

又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,

所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.

以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.

则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).

所以双曲线方程为=1(x>2),

BC的垂直平分线方程为x-y+7=0.

联立两方程解得x=8(舍负),y=5, 所以P(8,5),

kPA=tan∠PAx=,所以∠PAx=60,

所以P点在A点的北偏东30方向.

通过实际问题，引导学生类比思考，引出双曲线的定义。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。

类比椭圆的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程。发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养。

三、达标检测

1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( )

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线

D.双曲线的一支和一条射线

解析:当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.

答案:D

2.已知双曲线=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )

A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m

解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.

答案:C

3.已知方程=1表示双曲线,则m的取值范围是( )

A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)

解析:∵方程=1,∴(m-2)(m+1)<0,

解得-1

答案:D

4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.

解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.设以E,F为焦点且过点P的双曲线方程为=1,

焦点为E(-c,0),F(c,0). 由tan∠PEF=,tan∠EFP=-2,

设∠PFx=α,则tan α=tan(π-∠EFP)=2,

得直线PE和直线PF的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c).

联立两方程,解得x=c,y=c, 即P点坐标为.

∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,

∴S△EFP=c2=12,∴c=3,即P点坐标为(5,4).

由两点间的距离公式

|PE|==4,|PF|==2,

∴a=.又b2=c2-a2=4,

故所求双曲线的方程为=1.

5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;

(2)以椭圆=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,);

(3)a=b,经过点(3,-1).

解:(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,又知焦点在x轴上,且c=5,

所以b2=c2-a2=25-16=9,所以双曲线的标准方程为=1.

(2)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2.

设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

则有a2+b2=c2=8,=1,解得a2=3,b2=5.

故所求双曲线的标准方程为=1.

(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入,

得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的双曲线的标准方程为=1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.

综上,所求双曲线的标准方程为=1.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。