抛物线的简单几何性质（2）教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握抛物线的几何性质及其简单应用．

B.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．

C. 掌握抛物线中的定值与定点问题．

1.数学抽象：抛物线的几何性质

2.逻辑推理：运用抛物线的性质平行

3.数学运算：抛物线中的定值与定点问题

4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

抛物线四种形式的标准方程及其性质

二、直线与抛物线的位置关系

设直线l:y=kx+m,抛物线:y²=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k²x²+2(km-p)x+m²=0.

(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;

当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;

当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.

(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

二、典例解析

例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物

线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线

的对称轴．

【分析】设抛物线的标准方程为：y²＝2px（p＞0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线OA的方程为：＝＝，

可得y_D＝．设直线AB的方程为：my＝x﹣，与抛物线的方程联立化为y²﹣2pm﹣p²＝0，

利用根与系数的关系可得．可得y_D＝y₂．即可证明．

【解答】证明：设抛物线的标准方程为：y²＝2px（p＞0）．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线AB的方程为：my＝x﹣，

联立，化为y²﹣2pm﹣p²＝0，

∴．∴．∴y_D＝y₂．

∴直线DB平行于抛物线的对称轴．例6. 如图，已知定点B轴于点, 是线段上任意一点,轴于点, 于点,相交于点P，求P点的轨迹方程。

解：设点P , M ,其中则点E的坐标为

所以点P的横坐标满足

直线OE的方程为③

因为点P在OE上，所以点P的坐标 满足③

将代入③，消去得，

即P点的轨迹方程。

例6中，设点B关于的对称点为A，则方程

对应的轨迹是常见的抛物拱AOB.抛物拱在现实生活中有许多原型，如桥拱、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物拱一部分。

例7. 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)设过点P(1,2)的直线l₁,l₂分别与曲线C交于A,B两点,直线l₁,l₂的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.

思路分析:(1)由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点,以x=-1为准线的抛物线;

(2)设l₁,l₂的方程,联立方程组消元解出A,B的坐标,代入斜率公式计算k_AB.

(1)解:∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,

∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,

∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.

∴曲线C的方程为y²=4x.

(2)证明:设直线l₁的方程为y=k(x-1)+2.

∵直线l₁,l₂的斜率存在,且倾斜角互补,

∴l₂的方程为y=-k(x-1)+2.

联立得方程组消元得k²x²-(2k²-4k+4)x+(k-2)²=0.

设A(x₁,y₁),则x₁=.

同理,设B(x₂,y₂),可得x₂=,

∴x₁+x₂=,x₁-x₂=.

∴y₁-y₂=[k(x₁-1)+2]-[-k(x₂-1)+2]=k(x₁+x₂)-2k=-2k=.

∴k_AB==-1.

∴直线AB的斜率为定值-1.

定值与定点问题的求解策略

1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.

2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;(3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.

跟踪训练1. 已知抛物线的方程是y²=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;

(2)若y₁y₂=-12,求证:直线l过定点.

解:(1)因为抛物线的方程为y²=4x,则有=4x₁,=4x₂,因为弦AB的中点为(3,3),所以x₁≠x₂.

两式相减得=4x₁-4x₂,

所以,

所以直线l的方程为y-3=(x-3),即y=x+1.

(2)当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,整理,得ky²-4y+4b=0,y₁y₂==-12,b=-3k,

l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).

当l的斜率不存在时,y₁y₂=-12,则x₁=x₂=3,l过定点(3,0).

综上,l过定点(3,0).

通过，回顾抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，帮助学生整理知识。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过典例解析，综合运用抛物线几何性质，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，提升学生综合运用能力，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

通过典型例题，帮助学生掌握抛物线中的定值与定点问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．若抛物线y²＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )

A． B． C． D．

【答案】A [线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]

2．若直线x－y＝2与抛物线y²＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.

【答案】(4,2) [由得x²－8x＋4＝0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝8，y₁＋y₂＝x₁＋x₂－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)．]

3．设直线y＝2x＋b与抛物线y²＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值．

【答案】由消去y，得4x²＋4(b－1)x＋b²＝0.

由Δ＞0，得b＜.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

则x₁＋x₂＝1－b，x₁x₂＝.

∴|x₁－x₂|＝＝.

∴|AB|＝|x₁－x₂|＝＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.

4.过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点。

(1)求证:A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值

(2)证明：直线AB过定点；

解：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），中点P（x₀,y₀）

∵ OA⊥OB

∴ k_OAk_OB=-1∴ x₁x₂+y₁y₂=0

∵ y₁²=2px₁，

y₂²=2px₂∴

∵ y₁≠0，y₂≠0

∴ y₁y₂=-4p² ∴ x₁x₂=4p²

⑵∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂∴（y₁-y₂）(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂)

∴ AB过定点（2p,0）.

5.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y²=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.

思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离,从而可表示出△PAB的面积,再求最大值即可.

解:由解得

∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3.

(方法1)设P(x₀,y₀)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,

则有d=|(y₀-1)²-9|.

∵-20<4,∴(y₀-1)²-9<0.

∴d=[9-(y₀-1)²].

从而当y₀=1时,d_max=,S_max=3.

因此,当点P的坐标为时,△PAB的面积取得最大值,最大面积为.

(方法2)由解得

∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3.

设点P的坐标为(4t²,4t),

∵点P(4t²,4t)在抛物线AOB这段曲线上,∴-2<4t<4,得-

由题意得点P(4t²,4t)到直线AB的距离d=.

∵当t∈时,2<0,

∴d=,

∴当t=时,d_max=.

此时点P的坐标为,S_△PAB的最大值为|AB|d_max=3.

(方法3)设y=2x+m是抛物线y²=4x的切线方程.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。