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相似三角形中的对应线段之比教案

1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系;(重点)

2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.(难点)

一、情景导入


在前面我们学习了相似多边形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,相似三角形是相似多边形中的一种,因此三对对应角相等,三对对应边成比例.那么,在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢?本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.

二、合作探究

探究点一:相似三角形对应高的比

如图,△ABC中,DE∥BC,AH⊥BC于点H,AH交DE于点G.已知DE=10,BC=15,AG=12.求GH的值.

解:∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.

∴△ADE∽△ABC.

又∵AH⊥BC,DE∥BC,∴AH⊥DE.

∴=,即=.

∴AH=18.

∴GH=AH-AG=18-12=6.

方法总结:利用相似三角形的性质:对应高的比等于相似比,将所求线段转化为求对应高的差.

探究点二:相似三角形对应角平分线的比

两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm,如果它们对应的两条角平分线的和为42cm,那么这两条角平分线的长分别是多少?

解:方法一:设其中较短的角平分线的长为xcm,则另一条角平分线的长为(42-x)cm.

根据题意,得=.解得x=18.

所以42-x=42-18=24(cm).

方法二:设较短的角平分线长为xcm,则由相似性质有=.解得x=18.较长的角平分线长为24cm.

故这两条角平分线的长分别为18cm,24cm.

方法总结:在利用相似三角形的性质解题时,一定要注意“对应”二字,只有对应线段的比才等于相似比,而相似比即为对应边的比,列比例式时,尽可能回避复杂方程的变形.

探究点三:相似三角形对应中线的比

已知△ABC∽△A′B′C′,=,AB边上的中线CD=4cm,求A′B′边上的中线C′D′.

解:∵△ABC∽△A′B′C′,CD是AB边上的中线,C′D′是A′B′边上的中线,

∴==.

又∵CD=4cm,

∴C′D′==4=6(cm).

即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.

方法总结:相似三角形对应中线的比等于相似比.


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