三角函数的计算教案

1．熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点)

2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点)

一、情境导入

如图①和图②，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？

观察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5 cm时，木桩上升的距离为PN.

在Rt△ PBN中，∵tan10＝，∴PN＝BNtan10＝5tan10(cm)．

那么，tan10等于多少呢？

对于不是30，45，60这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求．

二、合作探究

探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题

【类型一】已知角度，用计算器求三角函数值

用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：

(1)sin47；(2)sin1230′；

(3)cos2518′；(4)sin18＋cos55－tan59.

解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值．

解：根据题意用计算器求出：

(1)sin47≈0.7314；

(2)sin1230′≈0.2164；

(3)cos2518′≈0.9041；

(4)sin18＋cos55－tan59≈－0.7817.

方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数

已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1)：

(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；

(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；

(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.

解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值．

解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6；

(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9；

(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6.

方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型三】利用计算器比较三角函数值的大小

(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：

①sin30________2sin15cos15；

②sin36________2sin18cos18；

③sin45________2sin22.5cos22.5；

④sin60________2sin30cos30；

⑤sin80________2sin40cos40.

猜想：已知0＜α＜45，则sin2α________2sinαcosα；

(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．

解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证．

解：(1)①＝②＝③＝④＝⑤＝猜想：＝

(2)已知0＜α＜45，则sin2α＝2sinαcosα.

证明：S△ABC＝ABsin2αAC，S△ABC＝2ABsinαACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.

方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．

探究点二：利用三角函数解决实际问题

【类型一】非特殊角三角函数的实际应用

如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25，∠CBA＝45.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．

(1)求改直后的公路AB的长；

(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?

解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25，求出CD、AD，根据∠CBA＝45，求出BD、BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．

解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25，∴CD＝sin∠CABAC＝sin2510≈0.4210＝4.2(千米)，AD＝cos∠CABAC＝cos2510≈0.9110＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝＝≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；

(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．

方法总结：解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型二】仰角、俯角问题

如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．

解析：根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，得出答案．

解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90.∵∠A＝45，∴AF＝DF.设EF＝x，∵tan25.6＝≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4＝＝＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋312－31＝81(米)．

所以，塔高DE大约是81米．

方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．