三角函数的应用教案

1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)

2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75.

你能求出车架档AD的长吗？

二、合作探究

探究点：三角函数的应用

【类型一】利用方向角解决问题

某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30方向上，

已知该岛周围16海里内有暗礁．

(1)试说明点B是否在暗礁区域外；

(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

解析：(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D点，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；(2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．

解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60，∴BD＝x，CD＝x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30，tan∠CAD＝＝，∴＝.∴x＝18.∵18>16，∴点B是在暗礁区域外；

(2)∵CD＝x＝9，9＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．

方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型二】利用仰角和俯角解决问题

某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度(如图)，站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α＝30，底部B处的俯角β＝45.已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度(结果保留根号)．

解析：根据在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，求出BE的值，再根据在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，求出AE的值，最后根据AB＝AE＋BE，即可求出答案．

解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝，∴AE＝CEtan∠ACE＝18tan30＝6(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6(米)．

所以，①号楼AB的高为(18＋6)米．

方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题

【类型三】求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1，∠BCA＝68.2，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1≈0.97，cos76.1≈0.24，tan76.1≈4.0，sin68.2≈0.93，cos68.2≈0.37，tan68.2≈2.5)．

解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝ACtan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝ADtan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4≈546.7m.

所以，AB的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型四】仰角、俯角和坡度的综合应用

如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30，然后，她沿着坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度(参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米)．

解析：作辅助线EF⊥AC于点F，根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF＝30，通过平角减去其他角从而得到∠AEF＝45，即可求出AE的长度．

解：作EF⊥AC于点F，根据题意，得CE＝1815＝270(米)．

∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45.∵∠ECF＝90－45－15＝30，∴EF＝CE＝135米．∵∠CEF＝60，∠AEB＝30，∴∠AEF＝180－45－60－30＝45，∴AE＝EF＝135≈190.4(米)．