切线的判定及三角形的内切圆教案

1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)

2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)

3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)

一、情境导入

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．

二、合作探究

探究点一：切线的判定

【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30，求证：CD是⊙O的切线．

解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30，则∠A＝∠D＝30，得到∠COD＝60，所以∠OCD＝90.

证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30，∴∠A＝∠D＝30.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30，∴∠COD＝60，∴∠OCD＝90，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．

方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．

解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．

证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．

方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型三】切线的性质和判定的综合应用

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.

(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

(2)若AD＝2，AE＝6，求EC的长．

解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．

(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；

(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋2，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋2)2，解得r＝2.∵OE∥BC，∴＝，即＝，∴CE＝3.

方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：三角形的内切圆

【类型一】利用三角形的内心求角的度数

如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50，∠C＝60，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()

A．40

B．55

C．65

D．70

解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180，∠B＝50，∠C＝60，∴∠A＝70.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90，∴∠EOF＝360－∠A－∠OEA－∠OFA＝110，∴∠EDF＝∠EOF＝55.故选B.

方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF的度数．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

【类型二】求三角形内切圆半径

如图，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为()

A．1 B．2 C．1.5 D．2.5

解析：∵∠C＝90，AC＝6，CB＝8，∴AB＝＝10，∴△ABC的内切圆半径r＝＝2.故选B.

方法总结：记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为，可以大大简化计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】三角形内心的综合应用

如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.

(1)BE与IE相等吗？请说明理由．

(2)如图②，连接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．

解析：(1)连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可证出IE＝BE；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．