圆的对称性教案

1．理解圆的旋转不变性；(重点)

2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)

3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)

一、情境导入

我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？

二、合作探究

探究点：圆心角、弧、弦之间的关系

【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等

如图，M为⊙O上一点，＝，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME.

解析：连接MO，根据等弧对等圆心角，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.

证明：连接MO，∵＝，∴∠MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.

方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型二】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等

如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：＝.

解析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB＝∠BOE，则可证得＝.

证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴＝.

方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算

如图，在△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝36，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求、的度数．

解析：连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数．

解：连接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36，∴∠A＝90－36＝54.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54，∴∠ACD＝180－∠A－∠ADC＝180－54－54＝72，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90－72＝18.∵∠ACD、∠BCD分别是，所对的圆心角，∴的度数为72，的度数为18.

方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型四】有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题

如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，

直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P，使得QP＝QO？若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．

解析：点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段OA有三种位置关系：点P在线段OA上，点P在OA的延长线上，点P在OA的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．

解：当点P在线段OA上(如图①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180，即(∠OCP＋30)＋(∠OCP＋30)＋∠OCP＝180，整理得3∠OCP＝120，∴∠OCP＝40；

当P在线段OA的延长线上(如图②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180－∠QOC)＝90－∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180－∠OQP)＝45＋∠QOC.在△OQP中，30＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180，∴30＋∠QOC＋90－∠QOC＋45＋∠QOC＝180，∴∠QOC＝20，则∠OQP＝80，∴∠OCP＝100；

当P在线段OA的反向延长线上(如图③)，∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝(180－∠COQ)＝90－∠COQ.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ＝∠OQC＝45－∠COQ.∵∠AOC＝30，∴∠COQ＋∠POQ＝150，∴∠COQ＋45－∠COQ＝150，∴∠COQ＝140，∴∠OCP＝(180－140)＝20.