等差数列的概念（2）教学设计

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

课件教案

课程目标

学科素养

A. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质.

B.能用等差数列的性质解决一些相关问题.

C.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.

1.数学抽象：等差数列的性质

2.逻辑推理：等差数列性质的推导

3.数学运算：等差数列性质的运用

4.数学建模：运用等差数列解决实际问题

重点：等差数列的性质及其应用

难点：等差数列的性质的推导

多媒体

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1．等差数列的概念

文字语言	如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示
符号语言	an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)

2 ;前一项;同一个常数;常数;d

2．等差中项

(1)条件：如果a，A，b成等差数列．

(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．

(3)满足的关系式是a＋b＝2A

3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；

4.通项公式的应用；

二、典例解析

例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.

分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解．

解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．

由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．

所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.

因为a1＝220－d，

所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.

由题意，得a10≥11，a11＜11.

即：解得19

所以，d的求值范围为19

等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.

跟踪训练1. 孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？

A.2026 B. 2027 C. 2028 D.2029

C解：设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米.

由题意可知是等差数列，首项a1 =400 ，公差50

所以+() 50=50

令50 20，解得

由于

所以该市在2028年建住房面积开始大于820万平方米.

例4. 已知等差数列{an}的首项a1＝2，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

(1)求数列{bn}的通项公式.

(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.

分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.

解：（1）设等差数列的公差为

∵b1, b5, b5b1 =8

∵b5b1 , 8, ,

+() 2=2

所以数列的通项公式是=2

（2）数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=4 3

令4 3=29, 解得: =8

所以， b29是数列的第8项

对于第（2）小题，你还有其他解法吗？

差数列的性质

如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入)个合适的数，

仍然可以构成一个新的等差数列.

例5. 已知数列是等差数列，,且

求证:

分析：利用等差数列的中的两个基本量,再根据等差数列的定义

写出即可得证.

证明：设数列的公差为,则

例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？

通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？

思路：

通过回顾等差数列的定义及其中项性质，提出问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过实际问题的分析解决，体会等差数列的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )

A．20 B．30 C．40 D．50

【答案】C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，

∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，

∴a7＝20.

∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]

2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．

23.2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)1.2＝23.2(元)．]

3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.

【答案】18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.

又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.

故d＝＝＝.

∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)，∴k＝18.]

4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.

【答案】－1 [可求得数列的通项公式为an＝35－4n.

则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.

又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]

5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.

【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a

，解得