等比数列的概念(2)教学设计

课程目标

学科素养

A. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．

B．能够运用等比数列的性质解决有关问题．

1.数学抽象：等比数列的性质

2.逻辑推理：类比等差数列性质推导等比数列性质

3.数学运算：等比数列的运用

4.数学建模：运用等比数列解决实际问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

二、典例解析

例4. 用 10 000元购买某个理财产品一年.

（1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？

（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？

分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和, ，…构成等比数列.

解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，

则是等比数列，

首项，公，

所以.

所以，12个月后的利息为（元）.

解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，

首项，公比为，

于是.

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.

解不等式，得.

所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.

一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．

跟踪训练1. 2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，

甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.

(1)哪一年两林场木材的总存量相等？

(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？

解：(1)由题意可得

16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，

解得n＝2，

故到2019年两林场木材的总存量相等．

(2)令n＝5，则a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)，

故到2021年不能翻一番．

例5.已知数列的首项.

（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；

（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。

证明（1）：由，得的通项公式为.

设，则： ，

又,

所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列.

证明（2）：由, ,得

两边取以3为底的对数，得

所以 .又 ，

所以，是首项为1，公差为的等差数列.

是等差数列，则数列是等比数列；

2.若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列

例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？

分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.

解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，

则从今年1月起，各月不合格产品的数量是

由计算工具计算（精确到0.1），并列表

观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可.

由 ，

得

所以，当时，递减

又<100,

所以当24时, <100

所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.

通过与等差数列进行对比，发展学生类比思维能力，加强记忆。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过运用等比数列模型，解决实际问题。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。

通过典型例题，加深对等差与等比数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。

通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．（2021江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）

注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染.

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】设经过第轮传染，感染人数为，经过第一轮感染后，，经过第二轮感染后，，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第轮传染，感染人数为，当时，解得，

因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.

2．（2021北京高二期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则 .

【答案】10

【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且

所以

3.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.

(1)求a1的值．

(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．

分析：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．

解: (1)因为Sn＝2an＋n－4，

所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.

(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，

所以当n≥2时，

Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，

Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，

所以an－1＝2(an－1－1)，

又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，

且b1＝a1－1＝2≠0，

所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．

4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正数,且ax=by=cz,成等差数列.求证:a,b,c成等比数列.

证明:令ax=by=cz=m(m>0).

则x=logam,于是=logma,同理=logmb,=logmc,

因为成等差数列,

所以,即2logmb=logma+logmc.

因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.

所以a,b,c成等比数列.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。