商品利润最大问题教案

1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)

2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)

一、情境导入

某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多少时，可以获利最多？

二、合作探究

探究点一：商品利润最大问题

【类型一】利用二次函数求实际问题中的最大利润

某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？

(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

解析：(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式； (2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价； (3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．

解：(1)销售单价为x元，则销售量减少20，故销售量为y＝240－20＝－4x＋480(x≥60)；

(2)根据题意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；

(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2＋6400.当x＝80时，w有最大值，最大值为6400.

所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．

方法总结：先得到二次函数的顶点式y＝a(x－h)2＋k，当a＜0，x＝h时，y有最大值k；当a>0，x＝h时，y有最小值k.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和w和销售时间t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)由图象上已知的信息，求累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第8个月公司所获利润是多少万元．

解析：(1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w与t之间的函数关系式；(2)把w＝30代入累计利润w＝t2－2t的函数关系式里，求得月份；(3)分别将t＝7，t＝8代入函数解析w＝t2－2t，再把总利润相减就可得出．

解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w＝a(t－2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a(0－2)2－2＝0，解得a＝.∴函数关系式为w＝(t－2)2－2，即w＝t2－2t.

所以，累积利润w与销售时间t之间的函数关系式为w＝t2－2t；

(2)把w＝30代入w＝t2－2t，得t2－2t＝30.解得t1＝10，t2＝－6(不合题意，舍去)．

所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；

(3)把t＝7代入关系式，得w＝72－27＝10.5，把t＝8代入关系式，得w＝82－28＝16.16－10.5＝5.5(万元)．

所以，第8个月公司所获利润是5.5万元．

方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．

【类型二】综合运用一次函数和二次函数求最大利润

宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图(20≤x≤60)．

(1)求每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式；

(2)若该商品每天的利润为w(元)，试确定w(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大，最大利润是多少？

解析：(1)当20≤x≤40时，设y＝ax＋b，当40＜x≤60时，设y＝mx＋n，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w(元)与售价x(元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．

解：(1)分两种情况：当20≤x≤40时，设y＝ax＋b，根据题意，得解得故y＝x＋20；当40＜x≤60时，设y＝mx＋n，根据题意，得解得故y＝－2x＋140.

故每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数表达式是y＝

(2)w＝

①当20≤x≤40时，w＝x2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x＝40时，w有最大值，w最大值＝402－400＝1200；②当40＜x≤60时，w＝－2x2＋180x－2800＝－2(x－45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x＝45时，w有最大值，w最大值＝1250.

综上所述，当x＝45时，w最大值＝1250.

所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．

方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】利用表格信息求最大利润

某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

解析：(1)分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．

解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.

综上所述，y＝