几何问题及数字问题与一元二次方程教案

1．掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点、难点)

2．理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题．

课件教案

一、情景导入

要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?

二、合作探究

探究点一：利用一元二次方程解决几何问题

【类型一】面积问题

要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．

解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．

根据题意，得(60－3x)(40－2x)＝6040，

解得x1＝10，x2＝30.

检验：如果硬化路面宽为30米，则230＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10.

故P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．

易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．

【类型二】动点问题

如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动，点P停止运动时点Q也停止运动．

(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?

(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?

解：(1)设P，Q两点从出发开始xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.

故(2x＋16－3x)6＝33，解得x＝5.

故P，Q两点从出发开始5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

(2)设P，Q两点从出发开始xs时，点P和点Q的距离是10cm.

如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.

在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，

∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝，x2＝.

∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x＝.