正弦与余弦教案

1．理解正弦与余弦的概念；(重点)

2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)

一、情境导入

如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.

如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？

在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？

根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．

二、合作探究

探究点：正弦和余弦

【类型一】直接利用定义求正弦和余弦值

在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.

解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．

解：由勾股定理得AC＝＝＝12，sinA＝＝，cosA＝＝.

方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】已知一个三角函数值求另一个三角函数值

如图，在△ABC中，∠C＝90，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．

解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．

解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝ .

方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型三】比较三角函数的大小

sin70，cos70，tan70的大小关系是()

A．tan70＜cos70＜sin70

B．cos70＜tan70＜sin70

C．sin70＜cos70＜tan70

D．cos70＜sin70＜tan70

解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70＜1，cos70＜1，tan70＞1.又cos70＝sin20，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70＞sin20＝cos70.故选D.

方法总结：当角度在0<∠A<90间变化时，0cosA>0.当角度在45＜∠A＜90间变化时，tanA＞1.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

【类型四】与三角函数有关的探究性问题

在Rt△ABC中，∠C＝90，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝β.

(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；

(2)试证明你的结论．

解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．

解：(1)猜想：sinα＞sinβ；

(2)∵∠C＝90，∴sinα＝，sinβ＝ .∵AD＜AB，∴＞，即sinα＞sinβ.

方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．

【类型五】三角函数的综合应用

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长．

解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝＝，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.