平面与平面平行教学设计

课题

平面与平面平行

单元

第八单元

学科

数学

年级

高二

教材分 析

本节内容是空间平面与平面平行，由生活实例导入，进而引出本节要学的内容。

教 学

目标与核心素养

1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察平面与平面平行关系。

2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。

4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。

重点

平面与平面平行判定，平面与平面平行性质

难点

平面与平面平行判定定理应用，平面与平面平行性质定理应用

教学过程

导入新课

上一节我们知道了如何证明线面平行及线面平行的性质，那么面面平行如何证明又有怎样的性质呢？

学生思考问题，引出本节新课内容。

问题导入引出新知。

讲授新课

1.探究：根据基本事实的推论2,3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面，由此可以想到，如果一个平面内有两条相交或平行直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？

如图（1），a和b分别是矩形硬纸板的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸板和桌面平行吗？

如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺与桌面平行吗？

根据实例观察体会面面平行

段炼学生空间想象能力

讲授新课

2.如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行。我们借助长方体模型来说明。如图，在平面A’ADD’内画一条与AA’平行的直线EF,显然AA’与EF都平行于平面DD’CC’,但这两条平行直线所在平面AA’DD’与平面DD’CC’相交。

3.如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的，如图，平面ABCD内两条相交直线A’C’,B’D’平行。由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC,BD都与平面A’B’C’D’平行，此时平面ABCD平行平面A’B’C’D’

定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

符号表示为：

4.练习一：

判断下列命题是否正确

（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行（ ）

（2）若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行（ ）

（3）一个平面α内两条不平行的直线都平行于β平面，则α与β平行（ ）

（4）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（ ）

5.例一

已知正方体如图，求证：AB1D1//平面BC1D

证明：∵几何体是正方体

∴ D1C1⊥A1B1 且D1C1//A1B1,AB⊥A1B1且AB//A1B1

∴ D1C1⊥AB且D1C1//AB∴四边形D1C1BA为平行四边形

∴ D1A//C1B又D1A不在平面BC1D内C1B在平面 BC1D内

∴D1A//平面BC1D同理D1B1//平面BC1D

又D1A∩D1B1=D

∴平面AB1D1//平面BC1D

6.练习二

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥CD,E,F分别为棱PC,CD的中点，AB=3,CD=6,且AC=

证明：平面PAD//平面BEF

7.总结

证明两个平面平行一般步骤

一：在一个平面内找出两条相交直线

二：证明两条相交直线分别平行于另一个平面

三：利用判定定理得结论

8.思考：如果两个平面平行，会有哪些结论呢？

探究一：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

答：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行。

9.探究二：如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？

答：借助长方体模型探究得出结论，如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线，要么是平行直线。

10.探究三：当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？

答：平行，证明如下。

如图平面α//β，平面γ分别与α，β相交于直线a,b

因为α∩γ=a,β∩γ=b

所以a在α内，b在β内

∴a，b没有公共点

又a,b同在平面γ内

∴a//b

定理： 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

11. 练习三

①已知：α//β，l∩α=A证明：l与β相交

证明：在β上取一点B,过l和B作平面γ，由于γ和α有公共点A,

由于γ和β有公共点B,所以γ与α，β都相交，设γ∩α=a,γ∩β=b,

因为α//β，所以a//b，又因为l,a，b都在平面γ内，且l与a相交于A,所l与b相交，所以l与β相交。

②如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？

解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，

由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.

假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.

因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．

故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

总结：.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

.平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可

(1)两个平面平行，即α∥β.

(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.

(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.

三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示

12.例二

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等

证明：如图，α//β，AB//CD,且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证AB=CD

证明：过平行线AB,CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD

∵α//β∴BD//AC

又AB//CD∴四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD

13.总结：

两个平面平行具有如下的一些性质：

（1）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

（3）夹在两个平行面间的所有平行线段相等

（4）一条直线与平行平面中的一个平面相交，则其必与另一个平面也相交

14.练习

一、平面α与平面β平行的充分条件是

A α内有无数条直线都与β平行

B 直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内

C 直线a ,直线b,且a//β，b//α

D α内的任何一条直线都与β平行

二、判断下列命题是否正确

（1）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α//β

（2）平行于同一条直线的两个平面平行

（3）平行于同一个平面的两个平面平行

（4）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

三、两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系

A 两两相互平行

B 两两相交于一点

C 两两相交但不一定交于同一点

D 两两相互平行或交于同一点

四、如图三棱锥P-ABC，D,E,F分别是棱PA，PB，PC上的点，PD/PA=PE/PB=PF/PC 求证：平面DEF//平面ABC

证明：因为PD/PA=PE/PB,所以DE//AB.又因为DE不在平面ABC内，所以DE//平面ABC同理EF//平面ABC。

又因为DE∩EF=E,所以，平面EDF//平面ABC.

学生独立完成练习一

学生独立思考例一

学生独立思考练习二

让学生总结证明面面平行的步骤

小组讨论探究二并给出答案

做一做

学生独立完成例二

独立完成练习

平面与平面平行判定

平面与平面平行判定定理应用，段炼学生解决问题能力，培养其空间想象能力

加深学生对基本定理的理解，段炼其逻辑推理能力

段炼学生空间想象能力

段炼学生总结能力，有助有数学建模

加深对知识的掌握

探究平面与平面平行的性质定理

平面与平面平行的性质定理的应用

培养其逻辑推理能力

加深对本节新知的掌握