不同增长函数的差异教学设计（1）

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.3节《不同增长函数的差异》是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课件教案

课程目标

学科素养

1.了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函数) 的增长差异.

2、经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；

3、在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。

a.数学抽象：函数增长快慢的认识；

b.逻辑推理：由特殊到一般的推理；

c.数学运算：运用指数和对数运算分析问题；

d.直观想象：指数、对数函数的图像；

e.数学建模：运用函数增长差异解决实际问题；

教学重点：函数增长快慢比较的常用方法；

教学难点：了解影响函数增长快慢的因素；

多媒体

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、温故知新

三种函数模型的性质

	y＝ax(a>1)	y＝logax(a>1)	y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性	增函数	增函数	增函数
图象的变化趋势	随x增大逐渐近似与y轴;平行	随x增大逐渐近似与x轴x平行	随n值而不同
增长速度	①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax

（二）问题探究

我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．

提出问题

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.

我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.

下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k>0 ，指数函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数在定义域内增长方式的差异.

问题探究

以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.

分析：(1)在区间(-∞,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

x	y=2x	y=2x
0	1	0
0.5	1.414	1
1	2	2
1.5	2.828	3
2	4	4
2.5	5.657	5
3	8	6

(3)观察两个函数图象及其增长方式：

结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)

结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上

结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下

结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上

综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.

请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？

思考：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.

归纳总结

总结一：函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：

虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=2x的增长速度.

尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.

总结二：一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.

即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.

跟踪训练

1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

x	1	5	10	15	20	25	30
y1	2	26	101	226	401	626	901
y2	2	32	1 024	37 768	1.05106	3.36107	1.07109
y3	2	10	20	30	40	50	60
y4	2	4.322	5.322	5.907	6.322	6.644	6.907

关于x呈指数函数变化的变量是________.

答案：y2

[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]

分析：(1)在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0，

所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

x	y=lgx
0	不存在	0
10	1	1
20	1.301	2
30	1.477	3
40	1.602	4
50	1.699	5
60	1.778	6

以函数y=lgx与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.

(3)观察两个函数图象及其增长方式：

总结一：虽然函数y=lgx与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.

随着x的增大，的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.

例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；

这表明，当x>10，即y>1，y=lgx比相比增长得就很慢了.

思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.

总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数y=kx(k>0)在(0,上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有．

跟踪训练

1．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．

(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的

大小进行比较).

[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当xf(x)；当x1g(x)；

当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．

温故知新，通过对上节指数、对数和幂函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。