对数函数的图像和性质教学设计（1）

课程目标

学科素养

1、掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题;

2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。

3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。

a.数学抽象：对数函数的性质；

b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系；

c.数学运算：运用对数函数的性质比较大小；

d.直观想象：对数函数的图像；

e.数学建模：运用对数函数解决实际问题；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、问题探究

思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？

问题1. 利用“描点法”作函数和的图像．

函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：

问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

发现：函数和的图像都在y轴的右边,关于x轴对称

问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性

由此你能概括出对数函数（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？

结论1．函数和的图像都在y轴的右边；

2．图像都经过点；

3．函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势．

观察两幅图象，得到a>1和0

对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路, 函数图象看底数;底数只能大于0, 等于1来也不行;底数若是大于1, 图象从下往上增;底数0到1之间, 图象从上往下减;无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.

（二）、典例解析

例1 比较下面两个值的大小

⑴ ，；⑵ ，⑶ ，( a＞0 , a≠1 )

解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数y=log 2 x ∵a=2 > 1,

∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5，∴ log23.4< log28.5（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论;当a > 1时, 因为y=log a x是增函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；

归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.

2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.

跟踪训练1． 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106 log108； ⑵ log0.56 log0.54

⑶ log0.10.5 log0.10.6；⑷ log1.51.6 log1.51.4

答案：＜；＜；＞；＞

跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

(1) log 3 m < log 3 n； (2) log 0.3 m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0 log a n (a>1)

答案：m < n；m < n；m > n；m > n

已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y （y∈（0，+∞））是函数 y=2x （ x∈R）的反函数。

但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。

因此，函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。

温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究对数函数图像与性质的方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。

通过画出特殊的对数函数的图形，观察归纳出对数函数的性质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；

通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的图像与性质。培养逻辑推理核心素养。

运用对数函数的性质解决比较大小问题，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养；

通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的核心素养；

三、当堂达标

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )

A．5 B. C. D.

【答案】A [由图可知，a>1，故选A.]

2.当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )

A B C D

【答案】：C [(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]

3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.

解析： ∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，

∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．

4．函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________．

【答案】(3,0) [由2x－5＝1得x＝3，∴f(3)＝loga1＝0.即函数f(x)恒过定点(3,0)．]

5.比较下列各组数中两个值的大小:

解:(1)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76

(2)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8

6:解不等式:

解：原不等式可化为：，

通过练习巩固本节所学知识，巩固对数函数的概念，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。