对数函数的概念教学设计（1）

课程目标

学科素养

1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域；

2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。

3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣。

a.数学抽象：对数函数的概念；

b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系；

c.数学运算：求对数函数的定义域；

d.直观想象：对数函数的图像；

e.数学建模：运用对数函数解决实际问题；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、问题探究

问题1 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么，死亡１年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1；死亡２年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2 ；

死亡３年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3 ；

……

死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730 ．

根据已知条件，（1-p)5730＝,从而1-p=,所以p=1-．

设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，

即,（x∈[０，＋∞））．

这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．

在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．

在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间

x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？

2、概念建构

根据指数与对数的关系，由（x≥０）得到如图过y轴正半轴上任意一点（0，）（ ≤１）作x轴的平行线，与（x≥０）

的图象有且只有一个交点（，）．

这就说明，对于任意一个y∈（０，１］，

通过对应关系，

在［０，＋∞）上，都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．

也就是说，函数

刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．

同样地，根据指数与对数的关系，由（ ＞０，且≠１）

可以得到（ ＞０，且≠１）,x也是y的函数．

通常，我们用x表示自变量，表y示函数．

为此，将（ ＞０，且≠１）中的字母x和y对调，

写成yx（ ＞０，且≠１）．

对数函数的概念

函数y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

（二）、典例解析

题型1 对数函数的概念及应用

例1 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；

④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；

⑥y＝logx.其中是对数函数的为( )

A．③④⑤ B．②④⑥

C．①③⑤⑥ D．③⑥

(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ＝________.

(1)D (2)4 (3)－1

[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以

解得a＝4.

(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，

∴f(x)＝log2x，

∴f ＝log2＝－1.]

[规律方法] 判断一个函数是对数函数的方法

跟踪训练1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.

答案：2

[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.]

题型2 对数函数的定义域

例2 求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；

(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8).

[解] (1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，

解得0

(2)函数式若有意义，需满足即

解得－1

(3)由题意得解得

故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.

[规律方法] 求对数型函数的定义域时应遵循的原则

（1）分母不能为；（2）根指数为偶数时，被开方数非负；

（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1

提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.

跟踪训练2．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；

(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．

[解] (1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，

所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足

解得－1

题型3 对数函数的应用

例3 假设某地初始物价为１，每年以５％的增长率递增，经过y年后的物价为x．

（１）该地的物价经过几年后会翻一番？

（２）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．

解：（１）由题意可知，经过y年后物价x为，

即（∈［０，＋∞））．

由对数与指数间的关系，可得y=∈［１，＋∞）．

由计算工具可得，当＝２时，≈１４．

所以，该地区的物价大约经过１４年后会翻一番．

（２）根据函数y= ∈［１，＋∞）．利用计算工具，可得下表：

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，

但大约每增加１倍所需要的时间在逐渐缩小．

温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，构建对数函数的概念。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。

通过对指数函数回顾，类比得出对数函数的概念质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；

通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的概念性。培养逻辑推理核心素养。

求解对数函数的定义域，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养；

通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的核心素养；