弧长及扇形的面积教案

1．了解扇形的概念，理解n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)

2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长l＝和扇形面积S扇＝的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)

一、情境导入

如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3.14)?

我们容易看出这段铁轨是圆周长的，所以铁轨的长度l≈＝157(米). 如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？

二、合作探究

探究点一：弧长公式

【类型一】求弧长

如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90，则“蘑菇罐头”字样的长度为()

A.cm B.cm C.cm D．7πcm

解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90，∴此弧所对的圆心角为90.由题意可得R＝cm，则“蘑菇罐头”字样的长＝＝(cm)．故选B.

方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】利用弧长公式求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45，弧长等于，则该扇形的半径是________；

(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________．

解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得＝，解得R＝2；(2)根据弧长公式得＝，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60.故答案分别为2；60.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题

【类型三】圆的切线与弧长公式的综合

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)当BC＝4，AB＝8时，求劣弧AC的长．

解析：(1)连接BC，由AB是⊙O的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90，又由∠EAC＝∠D，则可得AE是⊙O的切线；(2)首先连接OC，易得∠ABC＝60，则可得∠AOC＝120，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．

(1)证明：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BAC＋∠ABC＝90.又∵∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；

(2)解：如图，连接OC，∵△ABC是直角三角形，∴sin∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30，∴∠ABC＝60，∴∠AOC＝120.∴劣弧AC的长＝＝.

方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

探究点二：扇形的面积公式

【类型一】求扇形面积

一个扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝＝＝3π.故答案为3π.

方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型二】求阴影部分的面积

如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是()

A.－2

B．2π－2

C.－

D.－

解析：连接OC，过O作OM⊥AC于M，∵∠AOB＝120，C为中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，∴△AOC的边AC上的高OM＝＝，△BOC边BC上的高为，∴阴影部分的面积是(－2)2＝－2.故选A.

方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型三】求不规则图形的面积

如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为()

A．4π－2

B．2π－2

C．4π－4

D．2π－4

解析：连接AB，由题意得阴影部分面积＝2(S扇形AOB－S△AOB)＝2(－22)＝2π－4.故选D.