图形面积的最大值教案

1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)

2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)

一、情境导入

如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？

如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值

已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()

A．3 B．－1 C．4 D．4或－1

解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.

方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值

【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值

如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．

解析：(1)根据AB为xm，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．

解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝ABBC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；

(2)S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵0＜x＜6，∴当x＝3时，S有最大值为36；

(3)∵∴4≤x＜6.

所以，当x＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．

方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型二】利用割补法求图形的最大面积

在矩形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，如果AB＝60，BC＝40，四边形EFGH的最大面积是()

A．1350 B．1300 C．1250 D．1200

解析：设AE＝AH＝CF＝CG＝x，四边形EFGH的面积是S.由题意得BE＝DG＝60－x，BF＝DH＝40－x，则S△AHE＝S△CGF＝x2，S△DGH＝S△BEF＝(60－x)(40－x)，所以四边形EFGH的面积为S＝6040－x2－(60－x)(40－x)＝－2x2＋100x＝－2(x－25)2＋1250(0＜x≤40)．当x＝25时，S最大值＝1250.故选C.

方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH的面积最大值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

【类型三】动点问题中的最值问题

如图，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B、C重合)．连接DE，作EF⊥DE，垂足为E，EF与线段BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF＝90，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．

解：(1)∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90－∠CED＝∠CDE.又∠B＝∠C＝90，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；

(2)由(1)得y＝，将m＝8代入，得y＝－x2＋x＝－(x2－8x)＝－(x－4)2＋2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；

(3)∵∠DEF＝90，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8－x.解方程＝，得x＝6，或x＝2.当x＝2时，m＝6；当x＝6时，m＝2.

方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型四】图形运动过程中的最大面积问题

如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题：

(1)当t＝3秒时，求S的值；

(2)当t＝5秒时，求S的值；

(3)当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

解析：当t＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．

解：(1)如图①，作PE⊥QR，E为垂足．∵PQ＝PR，∴QE＝RE＝QR＝4cm.在Rt△PEQ中，PE＝＝3(cm)．当t＝3秒时，QC＝3cm.设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP.∴＝()2.∵S△QEP＝43＝6，∴S＝()26＝(cm2)；

(2)如图②，当t＝5秒时，CR＝3cm.设PR与DC交于G，由△RCG∽△REP，可求出CG＝，∴S△RCG＝3＝(cm2)．又∵S△PQR＝83＝12(cm2)，∴S＝S△PQR－S△RCG＝12－＝(cm2)；

图③

(3)如图③，当5秒≤t≤8秒时，QB＝t－5，RC＝8－t.设PQ交AB于点H，PR交CD于点G.由△QBH∽△QEP，EQ＝4，∴BQ∶EQ＝(t－5)∶4，∴S△BQH∶S△PEQ＝(t－5)2∶42，又S△PEQ＝6，∴S△QBH＝(t－5)2.由△RCG∽△REP，同理得S△RCG＝(8－t)2，∴S＝12－(t－5)2－(8－t)2＝－t2＋t－.当t＝－＝时，S最大，S的最大值＝＝(cm2)．

方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．

探究点三：利用二次函数解决拱桥问题

一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；

(2)求支柱EF的长度；

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m、高3m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．

解析：(1)根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F点的坐标为(5，yF)，求出yF，即可求出支柱EF的长度；(3)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．作GH⊥AB交抛物线于点H，求出点H的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．

解：(1)根据题目条件，A，B，C的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，将B，C的坐标代入y＝ax2＋c，得解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋6；