直线与圆的位置关系教学设计

课程目标

学科素养

A.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

1.数学抽象：直线与圆的位置关系

2.逻辑推理：判断直线与圆的位置关系

3.数学运算：判断直线与圆的位置关系

4.数学建模：直线和圆的方程解决实际问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.

这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。

二、探究新知

直线与圆的位置关系的判断方法

直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断

点睛：几何法更为简洁和常用.

1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( )

A.相交 B.相切

C.相离 D.相切或相交

解析:圆心到直线的距离为d==1<4,所以直线与圆相交.

答案:A

三、典例解析

例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.

当m为何值时,直线与圆

(1)有两个公共点;

(2)只有一个公共点;

(3)没有公共点?

思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.

解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,

得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.

∵Δ=4m(3m+4),∴当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,

即直线与圆有两个公共点;

当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;

当Δ<0,即-

(方法2)已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=.

当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;

当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;

当d>2,即-

直线与圆的位置关系的判断方法

直线与圆的位置关系反映在三个方面:

一是点到直线的距离与半径大小的关系;

二是直线与圆的公共点的个数;

三是两方程组成的方程组解的个数.

因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.

例2 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.

思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,

进而求出切线方程.

解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.

(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,

则切线方程为y+3=k(x-4).

因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,

所以=1,即|k+4|=,

所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),

即15x+8y-36=0.

(2)若直线斜率不存在,

圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,

这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.

综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.

变式探究 过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.

解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为y=k(x-3),

即kx-y-3k=0.又圆的圆心为(0,0),半径为2,

所以=2,解得k=,

所以所求切线方程为y=(x-3).

切线方程的求法

1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.

2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解

设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.

例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.

思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.

解法一由得交点A(1,3),B(2,0),

故弦AB的长为|AB|=.

解法二由

消去y,得x2-3x+2=0.

设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

则由根与系数的关系,得x1+x2=3,x1x2=2.∴|AB|=,

即弦AB的长为.

解法三圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,

其圆心坐标(0,1),半径r=,

点(0,1)到直线l的距离为d=,

所以半弦长为,

所以弦长|AB|=

求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2图①

(2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在).图②

跟踪训练1 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.

(1)求直线l的方程;

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2 ,求圆C的标准方程.

解:(1)由已知得:解得

∴两直线交点为(2,1).

设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,∴k1=1,

∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;

(2)设圆的半径为r,依题意,

圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离为,

则由垂径定理得r2=()2+()2=4,∴r=2,

∴圆的标准方程为(x-3)2+y2=4.

例3．如图，台风中心从地以每小时千米的速度向东北方向（北偏东）移动，离台风中心不超过千米的地区为危险区域.城市在地的正东千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：

(1)求台风移动路径所在的直线方程；

(2)求城市处于危险区域的时间是多少小时？

【解析】（1）以为原点，正东方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系

则台风中心的坐标是，台风移动路径所在直线斜率为：

台风移动路径所在的直线方程为：

（2）以为圆心，千米为半径作圆，圆和直线相交两点，则台风中心移到时，城市开始受台风影响(危险区)，直到时，解除影响

点到直线的距离：

，又（小时）

城市处于危险区内的时间是小时

通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中学习过的直线与圆的位置关系，同时提出运用方程思想解法问题的方法。

通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断直线与圆的位置关系。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中掌握求圆的切线方程的方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过与直线与圆位置关系的应用问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )

A.过圆心 B.相切

C.相离 D.相交但不过圆心

解析:圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=

答案:D

2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是( )

A.0或2 B.2 C. D.或2

解析:∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,∴圆心O(0,0)到直线的距离,解得m=2(舍去0).故选B.

答案:B

3.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为.

解析:易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=,

则切线斜率为-2,切线方程为y-1=-2(x-2),

即2x+y-5=0.

答案:2x+y-5=0

4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .

解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,

圆心到直线y=x+1的距离d=,

所以弦长|AB|=2=2=2.

答案:2

5．如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶离水面2 m,水面宽 12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米?

【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,

设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①

将点A的坐标为(6,-2)代入方程①,解得r=10.

∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.②

当水面下降1米后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),

将A′的坐标(x0,-3)代入方程②,求得.

∴水面下降1米后,水面宽为

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。