圆柱、圆锥、圆台与球的表面积与体积教学设计

课题

圆柱、圆锥、圆台与球的表面积与体积

单元

第八单元

学科

数学

年级

高二

教材分 析

本节内容是圆柱、圆锥、圆台与球的表面积与体积求法，由上一节的多面体表面积与体积导入，引出本节要学的内容。

教 学

目标与核心素养

1.数学抽象：通过圆的面积推导方法由球的表面积推出其体积公式。

2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生数形结合能力，有利于数学建模中数形结合能力。

4.数据分析：通过利用表面积及体积公式解决一些计算问题。

重点

圆柱、圆锥、圆台与球的表面积。

难点

圆柱、圆锥、圆台与球的体积。

教学过程

导入新课

之前已经学过了多面体表面积和体积那么旋转体的表面积和体积又怎么求呢？

学生思考问题，引出本节新课内容。

把已学知识与新知建立联系，温故知新。并引出本节新课内容。

讲授新课

1.圆柱、圆锥、圆台的表面积

与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。

利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图，可以得到它们的表面积公式：

2.思考1：

圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？

3.练习一

圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方体，那么这个圆柱的侧面积是（ ）

A 4πS B 2πS C πS D

4.练习二：

如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180，求阴影部分形成的几何体的表面积．

5. 圆柱、圆锥、圆台的体积

对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识

(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．

(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．

6.思考2：

圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系？

7.练习三：

圆台的上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ）

8.练习四：

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．

9.球的表面积和体积

设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是

10.例一：

如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)

解：一个浮标的表面积为

2π*0.15*0.6+4π*0.15=0.8478（m）

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料

0.8478*0.5*1000=423.9（kg)

11.练习五：

湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴，则该球半径是_____cm,表面积是______cm。

12.思考3：

在小学我们学了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？

13.球的体积：

利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。

14.当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是

由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积

15.例二：

如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。

解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。

16.练习六：

在例二的条件下，证明球的表面积等于圆柱的侧面积。

17.球的截面问题

一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )

解：如图，设截面圆的圆心为O’, M为截面圆上任意一点则，.

所以

球的截面性质：

①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系

18.内接球问题：

设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

解： 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝ ，线段BC 即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，

长度为 则球的半径

所以球的表面积S=4πR=6πa.

19.总结：

（1）.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．

(2).长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为，如图(2

（3）正四面体的外接球：正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：

20.练习

一、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米堆约有（ ）

A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛

二、设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）

小组讨论已知圆柱、圆锥表面积公式怎样推导圆台体积公式

已知圆柱、圆锥、圆台表面积公式思考彼此间关系

独立完成练习一、练习二

学生小组讨论根据圆柱、圆锥体积公式推导圆台体积公式

学生独立思考圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系

小组讨论例一解决方法

学生独立思考类比求圆的面积公式如何利用球的表面积公式推导球的体积公式

独立思考截面问题解决方法，并提问

总结截面问题解决方法

对已学知识进行检验。

段炼学生推理能力

培养学生数形结合能力

对已学知识进行巩固，段炼其计算能力。

段炼学生推理能力使

使学生宏观理解三个公式之间的关系

段炼学生类比推理能力

段炼其发散思维

对学生新知掌握程度有所了解，培养学生理论与实际相结合的能力。