总体离散程度的估计教学设计

课题

9.2.4总体离散程度的估计

单元

第九单元

学科

数学

年级

高一

教材分析

本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时，对比得出更好的估计离散程度的方法。

教学目标与核心素养

1.数学抽象：利用样本的离散程度估计总体的离散程度；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

3.数学建模：掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度。

4.直观想象：通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度；

5.数学运算:能够正确计算样本的标准差或方差；

6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点

方差与标准差，并利用方差与标准差估计总体的离散趋势

难点

方差与标准差

教学过程

导入新课

问题导入：

问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？

通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。

从这三个数据来看，两名运动员没有差别。

根据以上数据作出频率分布直方图，如下：

由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。

即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。

可见，他们的射击成绩是存在差异的。

问题二：上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，那么，如何度量这种差异呢？

我们可以利用极差进行度量。

根据上述数据计算得：甲的极差=10-4=6

乙的极差=9-5=4

极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。

由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。

但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大。

问题三：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？

我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；

相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。

因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。

学生利用问题情景，引出本节新课内容——方差与标准差。

学生观察频率分布直方图，判断两名运动员的成绩的离散情况。

设置问题情境，回顾上节课知识点，同时激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。

培养学生学会数形结合的方法和能力。

讲授新课

知识探究（一）：方差与标准差

思考一：如何定义“平均距离”？标准差：考察样本数据的分散程度的大小最常用的统计量，是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

标准差的表达式

.方差：标准差的平方

方差的表达式

思考二：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？

s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。

思考三：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？

标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度。

标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；

标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。

显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的；但在实际问题中，一般多采用标准差。

在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的，就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常也用样本标准差估计总体标准差。

在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。

接下来我们再来探究问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？

我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2，s乙≈1.095.

即s甲>s乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。

因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。

如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。

例1、在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息。

思考四：你能根据下图计算出样本平均数和样本标准差吗？

例2、甲乙两人同时生产内径为24mm的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件，测得其内径尺寸如下(单位：mm )：

甲：22，25，23，23，27，乙：25，24，22，25，24。从生产的零件内径尺寸看，谁生产的质量较高？

解：即 甲、乙生产的零件内径的平均数相等，但乙的稳定程度高，

所以，乙生产的零件的质量比甲的高一些。

课堂巩固

1、某校举行2014年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，87，84，86，93. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为__85___、___1.6__。

2、抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是__2.2__，得分的方差是__0.96_．

3、甲、乙两人数学成绩(单位：分)分别为：

甲：75 78 81 82 87 89 92 93 94 95 102，乙：81 84 86 88 93 98 98 99 103 105 110

（1）分别求出这两名同学的数学成绩的平均数及标准差；

（2）比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法。

解：（1）（2）

乙的数学平均分比的甲高好多，但稳定性稍差一点知识总结

平均数、方差性质

课堂巩固

知识探究（二）：统计分析报告

思考五：近年来，我国肥胖人数的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患。

目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式为

BMI=体重（单位：kg）/身高2（单位：m2）。中国成人的BMI数值标准为BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9未正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。

某公司想要了解公司员工的身体肥胖情况，你认为有哪些工作需要完成？

1、从公司员工体检数据中，对男、女员工分别采用分层抽样抽取样本，并计算得到BMI值；

2、将上述样本数据用频率分布直方图进行统计；

3、根据统计图和统计量判断样本的分布以及差异，并对男、女员工在肥胖状况上的差异进行比较；

4、根据上述样本数据来估计该公司员工胖瘦程度的整体情况；

5、根据总体的估计对该公司员工提出控制体重的建议。

即统计案例分析报告包括以下几个过程：

思考六：统计分析报告主要由哪几部分组成？

1、标题；

2、前言

简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况；

3、主体

展示数据分析的全过程：

首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；

根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；

通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体情况。

4、结尾

对主体部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议。

生根据上述问题，探究“平均距离”。

根据上述推断得出标准差和方差的定义以及计算公式。

考虑标准差为0 的特殊情况。

学生分组合作，回到问题一，探究得出方差与标准差对总体数据离散程度的影响。

通过例题加强理解方差与标准差的意义。

利用思考题，让学生对标准差和方差进一步进行探索。

通过例题加强理解方差与标准差的意义。

学生和教师共同探究完成3个练习题。

探索平均数、方差的性质。

总结、巩固平均数、方差的性质。

通过抽样、统计等过程，让学生思考统计分析报告主要有哪几个方面。

利用问题情境探究得出“平均距离”,培养学生探索的精神.

给学生养成先推倒后总结的学习习惯。

数学知识是由特殊到一般或由一般到特殊的推导过程，引导学生养成全面推倒知识的习惯。

通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。

利用例题加深本节课的内容。

利用思考题让学生探究本节课的问题，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。

利用例题加深本节课的内容。

通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。

培养学生探索知识的能力。

培养学生总结知识的能力。

理论联系实际，无论是抽样还是统计，都是来源于生活的实际问题，让学生体会数学来源于生活。