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多边形的内角和与外角和教案

1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公式;(重点)

2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.(难点)

一、情境导入

多媒体演示:清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.

提出问题:


(1)小明是沿着几边形的广场在跑步?

(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗?

(3)你会求这个多边形的内角和吗?

导入:小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道是哪些角吗?

你知道它们的和吗?就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂.

二、合作探究

探究点一:多边形的内角和定理

【类型一】利用内角和求边数

一个多边形的内角和为540,则它是()

A.四边形 B.五边形

C.六边形 D.七边形

解析:熟记多边形的内角和公式(n-2)180.设它是n边形,根据题意得(n-2)180=540,解得n=5.故选B.

方法总结:熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

【类型二】求多边形的内角和

一个多边形的内角和为1800,截去一个角后,得到的多边形的内角和为()

A.1620 B.1800

C.1980 D.以上答案都有可能

解析:1800180=10,∴原多边形边数为10+2=12.∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1,∴新多边形的边数可能是11,12,13,∴新多边形的内角和可能是1620,1800,1980.故选D.

方法总结:一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.

【类型三】复杂图形中的角度计算

如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()

A.450 B.540

C.630 D.720

解析:如图,∵∠3+∠4=∠8+∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=540,故选B.

方法总结:本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特点,将问题转化为熟知的问题,体现了转化思想的优越性.

【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数

一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和?

解析:本题首先由题意找出不等关系列出不等式,进而求出这一内角的取值范围;然后可确定这一内角的度数,进一步得出这个多边形的边数.

解:设此多边形的内角和为x,则有1125<x<1125+180,即1806+45<x<1807+45,因为x为多边形的内角和,所以它是180的倍数,所以x=1807=1260.所以7+2=9,1260-1125=135.因此,漏加的这个内角是135,这个多边形是九边形.

方法总结:解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围.

探究点二:多边形的外角和定理

【类型一】已知各相等外角的度数,求多边形的边数

正多边形的一个外角等于36,则该多边形是正()

A.八边形 B.九边形

C.十边形 D.十一边形

解析:正多边形的边数为36036=10,则这个多边形是正十边形.故选C.

方法总结:如果已知正多边形的一个外角,求边数可直接利用外角和除以这个角即可.

【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用

一个多边形的内角和与外角和的和为540,则它是()

A.五边形 B.四边形

C.三角形 D.不能确定

解析:设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)180+360=540,解得n=3,∴这个多边形是三角形.故选C.

方法总结:熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理,解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题.


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