单调性与最大（小）值教学设计（1）

课程目标

学科素养

A.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；

B.掌握增（减）函数的证明与判断；

C.能利用单调性求函数的最大（小）值；

D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

1.数学抽象：函数的单调性；

2.逻辑推理：证明函数的单调性；

3.数学运算：求函数的最大（小）值；

4.直观想象：由函数的图象研究函数的单调性；

5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情景引入

1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？

2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？

二、探索新知

探究一 单调性

1、思考：如何利用函数解析式描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？”

【答案】图象在区间 上 逐渐上升，

在内随着x的增大，y也增大。

对于区间内任意，当时，都有。这是，就说函数在区间 上是增函数.

2、你能类似地描述在区间上是减函数吗？

【答案】在区间内任取，得到，

，当时，都有。这时，我们就说函数在区间上是这减函数.

3、思考：函数，各有怎样的单调性 ？

单调性概念：

对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有。就说函数在区间D上是增函数.

对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有。就说函数在区间D上是减函数.

如果函数 y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y =f(x)的 。

【答案】不一定，如

5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

【答案】y=2x+3,

牛刀小试：

1、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。

【答案】函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，

在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。

例1 根据定义，研究函数 的单调性。

【答案】解析见教材

结论：用定义证明函数的单调性的步骤:

1.取数:任取x1，x2∈D，且x1

2.作差:f(x1)－f(x2)；

3.变形:通常是因式分解和配方；

4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；

5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.

例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.

分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.

【答案】解析见教材

例3 根据定义证明函数在区间上单调递增。

解析见教材

探究二 函数的最大（小）值

1、思考：观察这两个函数图象，图中有个最高点，设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？

【答案】f(x)< M

定义:一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;

（2）存在，使得.

则M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）

2、思考：能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：

（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;

（2）存在，使得.

那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.

例4 菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为

h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)?

例5 已知函数 ，求函数的最大值与最小.

【答案】解析见教材

分析：由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上递减。所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

解析见教材。

通过观察函数的图象，观察函数的变化规律，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，学生归纳随着x的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，观察函数的图象，得到函数的单调性，进而归纳出函数单调性的定义。提高学生分析问题、概括能力。

通过思考，进一步巩固函数单调性的定义。提高学生解决问题的能力。

通过练习，进一步巩固单调性的定义，提高学生解决问题的能力。

通过例题，教会学生利用单调性的定义证明函数的单调性，提高学生解决问题能力、用分类讨论解决问题的能力。

用单调性的定义解决物理学中的玻意耳定律，提高学生的学科交融能力。

观察函数的图象，回答问题，进而归纳出函数最大值的定义，提高学生的分析问题的能力。

让学生仿照函数最大值的定义，类比得到函数最小值的定义，提高学生的类比推理能力。

通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

三、达标检测

1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )

A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1

C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1

【解析】 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．

【答案】 C

2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )

A．(－∞，1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，2) D．(2，＋∞)

【解析】 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．

【答案】 B

3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )

A．2 B．－2

C．2或－2 D．0

【解析】 由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝2.

【答案】 C

4．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )

A．[0,3] B．[－1,0]

C．[－1，＋∞) D．[－1,3]

【解析】 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，

当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.

【答案】 D

5．已知函数f(x)＝x2－x＋1.

(1)画出函数的图象；

(2)根据图象求函数在区间[－1,1]上的最大值．

【解】 (1)图象如图所示：

(2)由图象知，函数在[－1,1]上的最大值是3.

通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。