导数的四则运算法则教学设计

课程目标

学科素养

A.理解函数的和、差、积、商的求导法则．

B．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

1.数学抽象：和、差、积、商的求导法则

2.逻辑推理：和、差、积、商的求导法则

3.数学运算：运用导数运算法则求函数的导数

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、新知探究

在例2中，当=5时，这时，求关于的导数可以看成求函数 一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？

探究1：设计算与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？

设，因为

所以=+

同样地，对于上述函数，=

例3.求下列函数的导数

（1）

（2）

解：（1）

（2

探究:2： 设计算，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？

通过计算可知，= ，=

，同样地也不相等

导数的运算法则

(1)和差的导数

[f(x)g(x)]′＝______________．

(2)积的导数

①[f(x)g(x)]′＝____________________；

②[cf(x)]′＝________．

(3)商的导数

′＝___________________________

f′(x)g′(x); f′(x)g(x)＋f(x)g′(x); cf′(x);

(g(x)≠0)

二、典例解析

例4.求下列函数的导数

（1）（2）

解：（1）

（2）求函数的导数的策略

(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；

(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．

跟踪训练1 求下列函数的导数：

(1)y＝x²＋log₃x； (2)y＝x³e^x； (3)y＝.

[解] (1)y′＝(x²＋log₃x)′＝(x²)′＋(log₃x)′＝2x＋.

(2)y′＝(x³e^x)′＝(x³)′e^x＋x³(e^x)′

＝3x²e^x＋x³e^x＝e^x(x³＋3x²)．

(3)y′＝′＝

＝＝－.

跟踪训练2 求下列函数的导数

（1）y＝tan x； （2）y＝2sin cos

解析：（1）y＝tan x＝，

故y′＝＝＝.

（2）y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.

例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为所需费用（单位：元），为

求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：

（1） 90；（2） 98

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；

（1）因为所以，进化到纯净度为90时，净化费用的变化瞬时率是元/吨.

（2）因为所以进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.

例6 (1)函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为________．

(2)已知函数f(x)＝ax²＋ln x的导数为f′(x)．

①求f(1)＋f′(1)；

②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

(1)[解析] 由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x，

所以函数在x＝处的切线斜率为3cos＝.

[答案]

(2)[解] ①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，

由f(x)＝ax²＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，

所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，

故此时切线斜率为0，

问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，

即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，

即2ax²＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 关于函数导数的应用及其解决方法

(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；

(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．

通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算法则。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过对导数四则运算法则的运用。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握导数的运算法则，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。

三、达标检测

1．已知函数f(x)＝ax²＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( )

A．1 B． C．－1 D．0

解析：∵f(x)＝ax²＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 答案：A

2. 已知物体的运动方程为s＝t²＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( )

A. B. C. D.

解析：∵s′＝2t－，∴s′|_t＝2＝4－＝.

答案：D

3.如图有一个图象是函数f(x)＝x³＋ax²＋(a²－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝ ( )

A． B．－ C． D．－或

解析：f′(x)＝x²＋2ax＋a²－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，

图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，

此时a＝0，与题设不符合，

故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．

由图(3)知f′(0)＝0，

由根与系数的关系得

解得a＝－1.故f(x)＝x³－x²＋1，所以f(－1)＝－.

答案：B

4.求下列函数的导数．

(1)y＝x^－2＋x²；(2)y＝3^xe^x－2^x＋e；

(3)y＝；(4)y＝x²－sin cos.

[解] (1)y′＝2x－2x^－3.

(2)y′＝(ln 3＋1)(3e)^x－2^xln 2.

(3)y′＝.

(4)∵y＝x²－sincos＝x²－sin x，

∴y′＝2x－cos x.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。