分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）教学设计

课程目标

学科素养

A.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;

B.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.

C.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.

1.数学抽象：两个计数原理

2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题

3.数学运算：运用计数原理解决计数问题

4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.

问题1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.

问题2.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；

（2）分别计算各类号码的个数；

（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

一般地，有如下分类加法计数原理：

完成一件事，有两类办法. 在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m+n种不同的方法.

二、典例解析

例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.

解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择

方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9.

利用分类加法计数原理解题的一般思路

(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;

(2)计数:求出每一类中的方法数;

(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.

问题3. 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m₁种不同的方法，在第二类方案中有m₂种不同的方法，在第三类方案中有m₃种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？

分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m₁种不同的方法,第二类办法中有m₂种不同的方法……第n类办法中有m_n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m_n种不同的方法.

跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )

A．18 B．36 C．72 D．48

解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).

方法二 按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).

方法三 考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是722＝36.故选B.

答案：B

问题4. 用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A₁， A₁，…A₉，B₁，B₂，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来

方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有69=54种不同的号码.

问题5.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；

（2）分别计算各步号码的个数；

（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参

加比赛，共有多少种不同的选法？

分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.

解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；

第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；

根据分步计数原理，共有 3024=720种不同方法.

问题6. 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

N＝m₁m₂m₃

如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，…,做第n步有m_n种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？

分步乘法计数原理一般结论：

N＝m₁m₂…m_n

例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?

(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?

解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；

（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 32＝24；

（3）需先分类再分步.

第一类：从一、二层各取一本，有43=12种方法；

第二类：从一、三层各取一本,有42=8种方法；

第三类：从二、三层各取一本,有32=6种方法；

根据两个基本原理，不同的取法总数是

N=43+42+32=26

答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.

应用分步乘法计数原理解题的一般思路

跟踪训练2. 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为3⁶＝729.

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，

因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为654＝120.

(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6³＝216.

通过导语，帮助学生回顾计数问题，引出学习课题。

通过具体问题，已发学生思考，通过分析、比较、归纳、形成对计数原理的认识。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉两个计数原理的基本步骤，并能区分它们的联系和区别，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( )

A．20种 B．15种 C．10种 D．4种

解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种).故选B.

答案：B

2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是( )

A．5⁶ B．6⁵ C．30 D．11

解析：(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有5⁶种不同的选法．故选A.

3. 4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数.

解析:分三个步骤:

第一步:百位可放8-1=7个数;

第二步:十位可放6个数;

第三步:个位可放4个数.

根据分步乘法计数原理,可以组成N=764=168个不同的三位数.

答案:168

4.如图所示的电路图,从A到B共有 条不同的线路可通电.

解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1种方法;第三类,经过支路③有22=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.

答案:8

5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C₁,求其中经过3条棱的路线共有多少条?

解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA₁.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m₁=12=2条;第二类:经过AD,有m₂=12=2条;第三类:经过AA₁,有m₃=12=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C₁经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.

6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?

解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.

方法一:分两类.

第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有63=18(种)选法.

第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有12=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法.

方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语.

第一类:甲入选.

(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有12=2(种)选法;

(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有16=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).

第二类:甲不入选.

可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有62=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。