任意角教学设计（2）

学生在初中学习了～，但是现实生活中随处可见超出～范围的角.例如体操中有“前空翻转体”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.

课程目标

1.了解任意角的概念.

2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．

3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．

数学学科素养

1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；

2.逻辑推理：求区域角；

3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.

重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；

难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到～范围内的角.但是现实生活中随处可见超出～范围的角.例如体操中有“前空翻转体”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本168-170页，思考并完成以下问题

1．角的概念推广后，分类的标准是什么？

2．如何判断角所在的象限？

3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条 射线 绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所成的 图形 ．

(2)角的表示

如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类

按旋转方向，角可以分为三类：

2．象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点 重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几 象限角 ；如果角的终边在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．

四、典例分析、举一反三

题型一 任意角和象限角的概念

例1 (1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．

(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①420，②855，③－510.

【答案】（1）① （2）图略，①420是第一象限角．②855是第二象限角．③－510是第三象限角．

【解析】(1)①锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；

②－350角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；

④360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．

(2) 作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420是第一象限角．

②855是第二象限角．

③－510是第三象限角．

解题技巧：（任意角和象限角的表示）

1．判断角的概念问题的关键与技巧．

(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；

(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．

2．象限角的判定方法．

(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．

(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k360＋β(k∈Z，0≤β<360)的形式；

第二步，判断β的终边所在的象限；

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．

跟踪训练一

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90的角}，则下面关系正确的是( )

A．A＝B＝C B．A⊆C

C．A∩C＝B D．B∪C⊆C

【答案】D

【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．

2．给出下列四个命题：①－75是第四象限角；②225是第三象限角；③475是第二象限角；④－315是第一象限角．其中正确的命题有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】－90＜－75＜0，180＜225＜270，

360＋90＜475＜360＋180，－315＝－360＋45且0＜45＜90.所以这四个命题都是正确的．

题型二 终边相同的角的表示及应用

例2 (1)将－885化为k360＋α(0≤α＜360，k∈Z)的形式是________．

(2)写出与α＝－910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720＜β＜360的元素β写出来．

【答案】（1）(－3)360＋195， （2）终边相同的角的集合为{β|β＝k360－910，k∈Z}，适合不等式－720＜β＜360的元素－550、－190、170.

【解析】(1)－885＝－1 080＋195＝(－3)360＋195.

(2)与α＝－910终边相同的角的集合为{β|β＝k360－910，k∈Z}，

∵－720＜β＜360，即－720＜k360－910＜360，k∈Z，

∴k取1，2，3.

当k＝1时，β＝360－910＝－550；

当k＝2时，β＝2360－910＝－190；

当k＝3时，β＝3360－910＝170.

解题技巧：(终边相同的角的表示)

1．在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法

(1)一般地，可以将所给的角α化成k360＋β的形式(其中0≤β＜360，k∈Z)，其中β就是所求的角．

(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到所求为止．

2．运用终边相同的角的注意点

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k360＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：

(1)k是整数，这个条件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k360与α之间用“＋”连接，如k360－30应看成k360＋(－30)，k∈Z.

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．

跟踪训练二

1.下面与－85012′终边相同的角是( )

A．23012′ B．22948′

C．12948′ D．13012′

【答案】B

【解析】与－85012′终边相同的角可表示为α＝－85012′＋k360(k∈Z)，当k＝3时，α＝－85012′＋1 080＝22948′.

2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．

【答案】{α|α＝k180＋135，k∈Z}．

【解析】落在第二象限时，表示为k360＋135.落在第四象限时，表示为k360＋180＋135，故可合并为{α|α＝k180＋135，k∈Z}．

题型三 任意角终边位置的确定和表示

例3(1)若α是第一象限角，则是( )

A．第一象限角B．第一、三象限角

C．第二象限角D．第二、四象限角

(2)已知，如图所示．

①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

【答案】(1)B (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135＋k360，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30＋k360，k∈Z}．

②故该区域可表示为{γ|－30＋k360≤γ≤135＋k360，k∈Z}．

【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k360＜α＜k360＋90，k∈Z，所以k180＜＜k180＋45，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．所以是第一、三象限角．

(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90＋45＋k360，k∈Z}＝{α|α＝135＋k360，k∈Z}；

终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30＋k360，k∈Z}．

②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30，135]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示

为{γ|－30＋k360≤γ≤135＋k360，k∈Z}．

解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）

1．表示区间角的三个步骤：

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360～360范围内的角α和β，写出最简区间{x|α

第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360的整数倍，即得区间角集合．

提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．

2．或所在象限的判断方法：

(1)用不等式表示出角或的范围；

(2)用旋转的观点确定角或所在象限．

跟踪训练三

1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？