空间向量基本定理教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握空间向量基本定理.

B.了解空间向量正交分解的含义.

C.会用空间向量基本定理解决有关问题.

1.数学抽象：空间向量基本定理的证明

2.逻辑推理：运用空间向量基本定理解决空间平行与垂直的证明；

3.直观想象：空间向量基本定理在立体几何的运用；

4.数学运算：运用基底思想和向量运算解决立体几何问题；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？

二、探究新知

知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？

因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。

探究

如图1.2-1，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .

空间向量基本定理

1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),

使得p=xa+yb+zc.

2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共

面的向量都可以构成空间的一个基底.

3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,

使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

定理辨析

1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.

2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.

3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.

做一做

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“”.

(1)空间向量的基底是唯一的.( )

(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.( )

(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.( )

(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )

答案: (1) (2)√ (3)√ (4)√

2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案: C

解析:如图所示,令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.

由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,

同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.

3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,

=-3e1+e2+2e3=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底.

解:设=x+y,则e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),

即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,

∴此方程组无解.

即不存在实数x,y,使得=x+y,

所以不共面.

所以能作为空间的一个基底.

典例解析

例1.如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点．

（1）用向量，，表示和．

（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求•的值．

(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).

(2)＝(＋′)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.

(3)＝(′＋′)＝[(＋＋′)＋(＋′)]＝a＋b＋c.

(4)＝＋＝＋′＝＋(′－)＝＋′＝(＋)＋′＝a＋b＋c.

反思感悟用基底表示空间向量的解题策略

1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.

2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.

3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.

例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且

(1)证明:EF⊥B1C;

(2)求EF与C1G所成角的余弦值.

思路分析选择一个空间基底,将用基向量表示.(1)证明=0即可;(2)求夹角的余弦值即可.

(1)证明:设=i,=j,=k,

则{i,j,k}构成空间的一个正交基底.

∴cos<>=

=.

延伸探究：设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.

解:设=i,=j,=k,

则=-i-k,

=-i-k=(-i-k)=,

所以MF∥B1C.

归纳总结：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.

首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.

(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;

(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;

(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).

创设问题情境，引导学生通过平面向量基本定理类比空间向量基本定理

由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。

通过定理证明与辨析，加深学生对定理的理解，让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。

通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量基本定理在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让学生体会空间向量基本定理在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )

答案:C

解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.

2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且+m-n,则m,n的值分别为( )

答案:A

解析:因为)=,所以m=,n=-.

3.下列说法正确的是( )

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等

答案:C

解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;

D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.

4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若=a,=b,=c,则=.

答案:a-b+c

解析: )=(-b+)=-b+)=-b+(a+c-2b)=a-b+c.

5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.

解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.

∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.

∴此方程组无解.

即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),

∴a+b,b+c,c+a不共面.

故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.

6．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。