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    北师大初中数学八年级上册二次根式及其化简2教案

    属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字,此时化简的条件已暗中给定,②恒为非负值或根据题中的隐含条件,如(1)小题。③给出明确的条件,如(2)小题。第二类,需讨论后再化简。当题目中给定的条件不能判定绝对值符号内代数式值的符号时,则需讨论后化简,如(4)小题。例3.已知a+b=-6,ab=5,求 的值。解:∵ab=5>0,∴a,b同号,又∵a+b=-6<0,∴a<0,b<0∴ .说明:此题中的隐含条件a<0,b<0不能忽视。否则会出现错误。例4.化简: 解:原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5|令x-6=0,得x=6,令1+2x=0,得 ,令x+5=0,得x=-5.这样x=6, ,x=-5,把数轴分成四段(四个区间)在这五段里分别讨论如下:当x≥6时,原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2.当 时,原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10.当 时,原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12.当x<-5时,原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2.说明:利用公式 ,如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定,则需要讨论。方法是:令每一个绝对值内的代数式为零,求出对应的“零点”,再用这些“零点”把数轴分成若干个区间,再在每个区间内进行化简。

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    1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算;(重点)2.灵活运用二次根式的乘法公式.(难点)一、情境导入下面正方形的边长分别是多少?这两个数之间有什么关系,你能借助什么运算法则或运算律解释它?二、合作探究探究点一:二次根式的乘除运算【类型一】 二次根式的乘法计算:(1)3×5; (2)13×27;(3)2xy×1x; (4)14×7.解:(1)3×5=15;(2)13×27=13×27=9=3;(3)2xy×1x=2xy×1x=2y;(4)14×7=14×7=72×2=72.方法总结:几个二次根式相乘,把它们的被开方数相乘,根指数不变,如果积含有能开得尽方的因数或因式,一定要化简.【类型二】 二次根式的除法计算a2-2a÷a的结果是()A.-a-2 B.--a-2C.a-2 D.-a-2解析:原式=a2-2aa=a(a-2)a=a-2.故选C.

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    1.关于二次根式的概念,要注意以下几点:(1)从形式上看,二次根式是以根号“ ”表示的代数式,这里的开方运算是最后一步运算。如 , 等不是二次根式,而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算;(2)当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时,虽然最后运算不是开方而是乘法,但为了方便起见,我们把它看作一个整体仍叫做二次根式,而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数;(3)二次根式的被开方数,可以是某个确定的非负实数,也可以是某个代数式表示的数,但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数;(4)像“ , ”等虽然可以进行开方运算,但它们仍属于二次根式。2.二次根式的主要性质(1) ; (2) ; (3) ;(4)积的算术平方根的性质: ;(5)商的算术平方根的性质: ;

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二次根式及其化简教案

1.了解二次根式的定义及最简二次根式;(重点)

2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.(难点)

一、情境导入

问题:(1)如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=90,那么AB边的长是多少?(2)面积为S的正方形的边长是多少?(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池,它的半径是多少米?(π取3.14)


上述结果有什么共同特征?

二、合作探究

探究点一:二次根式的相关概念

【类型一】二次根式的定义

下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?

(1);(2);(3);(4);

(5)(x≥0,y≥0);(6);

(7).

解:(1)(2)(5)(6)是;(3)(4)(7)不是.

方法总结:在判断一个代数式是不是二次根式时,应该在原始形式的基础上进行判断,不能先化简再作判断,如本题=2,是二次根式,但2不是二次根式.

【类型二】二次根式有意义的条件

当x________,+在实数范围内有意义.

解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足被开方数x+3≥0和分母x+1≠0,解得x≥-3且x≠-1.

方法总结:使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况:一是分母不为零,二是偶次方根的被开方数是非负数,三是零次幂的底数不为零.

探究点二:二次根式的性质及化简

化简下列二次根式.

(1);(2)(a≥0,b≥0);

(3).

解析:本题主要考查运用=(a≥0,b≥0)及=a(a≥0)进行化简.

解:(1)===4;

(2)===2a;

(3)==6133=234.

方法总结:(1)若被开方数中含有负因数,则应先化成正因数,如(3)题.(2)将二次根式尽量化简,使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式),即化为最简二次根式(后面学到).

探究点三:最简二次根式

在二次根式,,,中,最简二次根式共有()

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析:中有因数4;中有分母9;中有因式a2.故最简二次根式只有.故选A.


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