全概率公式教学设计

课程目标

学科素养

A.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;

B.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;

C.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.

1.数学抽象：全概率公式

2.逻辑推理：从特殊到一般的思想方法

3.数学运算：运用全概率公式求事件概率

4.数学建模：将相关问题转化为对应概率模型

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.

二、新知探究

问题1.从有个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？

用 R_i表示事件“第i次摸到红球”,B_i表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R₂可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即R₂=R₁R₂UB₁R₂.利用概率的加法公式和乘法公式,得

按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。

一般地,设A₁,A₂,…,A_n是一组两两互斥的事件，A₁∪A₂∪…∪A_n＝Ω，

且P(A_i)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有

我们称上面的公式为全概率公式．

P(B)=ni＝1P(A_i)P(B|A_i)

三、典例解析

例1. 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.

分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。

解：设A₁=“第1天去A餐厅用餐”, B₁=“第1天去B餐厅用餐”,

A₂=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=,根据题意得

P(A₁)=P(B₁)=0.5, P(A₂|A₁)=0.6, P(A₂|B₁)=0.8,

由全概率公式,得

P(A₂)= P(A₁) P(A₂|A₁)+ P(B₁) P(A₂|B₁)=0.50.6+0.50.8=0.7

因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.

对全概率公式的理解

某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因B_i (i＝1,2，…，n) 所引起，则A发生的概率是P(AB_i)＝P(B_i)P(A |B_i)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．

例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.

分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,A_i=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率.

解：B=“任取一个零件为次品”,

A_i=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),

则,且互斥,根据题意得

P(A₁)=0.25, P(A₂)=0.3, P(A₃)=0.45,P(B|A₁)=0.06, P(B|A₂)= P(B|A₃)=0.05.

(1)由全概率公式,得

P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+ P(A₃)P(B|A₃)

=0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525

(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,

就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.

同理可得；

问题2：例5中P(A_i), P(A_i|B)得实际意义是什么？

𝑷(𝑨_𝒊)是试验之前就已知的概率,它是第𝒊台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率。当已知抽到的零件是次品(𝑩发生),𝑷(𝑨_𝒊|𝑩)是这件次品来自第𝒊台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率。

如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,

那么就分别是第𝟏,𝟐,𝟑台车床操作员应承担的份额。

*贝叶斯公式：

例6:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.

(1)分别求接收的信号为0和1的概率；

[解] 设A＝“迟到”，B₁＝“乘火车”，B₂＝“乘轮船”，

B₃＝“乘汽车”，B₄＝“乘飞机”，

根据题意，有P(B₁)＝0.2，P(B₂)＝0.1，P(B₃)＝0.3，P(B₄)＝0.4，

P(A|B₁)＝，P(A|B₂)＝，P(A|B₃)＝，P(A|B₄)＝0，

开门见山，提出问题.

通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而建立全概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

让学生亲身经历了从特殊到一般，获得全概率概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过概念辨析，让学生深化对全概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过概念辨析，让学生深化对全概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 ( )

A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0

=P(A|B)P(B)+P(A|)P()

=10.5+0.250.5=0.625.

2.某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________.

【解析】设B表示“该小组比赛中射中目标”，

A_i(i=1，2，3，4)表示“选i级射手参加比赛”，

则P(B)= P(A_i)P(B|A_i)=0.85+ 0.64+0.45+0.32=0.527 5.

答案：0.527 5

3.两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中各有1件废品，现在先从第1批产品中任取1件放入第2批中，然后从第2批中任取1件，则取到废品的概率为________.

【解析】设A表示“取到废品”，B表示“从第1批中取到废品”，有P(B)= ，

P(A|B)= ，P(A| )=

所以P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )

4．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

[解] 设事件 B 为“任取一件为次品”，事件 ，A_i为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.

A₁∪A₂∪A₃＝Ω，A_iA_j＝∅，i，j＝1,2,3.

由全概率公式得

P(B)＝P(A₁)P(B|A₁)＋P(A₂)P(B|A₂)＋P(A₃)P(B|A₃)．

P(A₁)＝0.3，P(A₂)＝0.5，P(A₃)＝0.2，

P(B|A₁)＝0.02，P(B|A₂)＝0.01，P(B|A₃)＝0.01，

故P(B)＝P(A₁)P(B|A₁)＋P(A₂)P(B|A₂)＋P(A₃)P(B|A₃)

＝0.020.3＋0.010.5＋0.010.2＝0.013.

5.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.

(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？

(2)该元件来自制造厂1的概率为：

P(B₁|A)

该元件来自制造厂2的概率为：

P(B₂|A)=

该元件来自制造厂3的概率为：

P(B₃|A)=

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。