二次函数与一元二次方程教案

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)

2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)

3．通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．(难点)

一、情境导入

一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离OC＝2.4m.当水位上升一定高度到达点F时，这时，离水面距离CF＝1.5m，则涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?

根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，只要求出点D的横坐标即可．

由已知条件可得到点D的纵坐标，又因为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数与一元二次方程

【类型一】求抛物线与x轴的交点坐标

已知二次函数y＝2x2－4x－6，它的图象与x轴交点的坐标是________________．

解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，设2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的图象与x轴交点的坐标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，(－1，0)．

方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数为0时，一元二次方程的解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】判断抛物线与x轴交点的个数

已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．

(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；

(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．

解析：(1)只需证明Δ＝(m＋2)2－4m2≥0即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．

(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；

(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.

方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】已知抛物线与x轴的交点个数，求字母系数的取值范围

已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．

解析：应分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论，(1)当k－3＝0即k＝3时，此函数是一次函数；(2)当k－3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围即可．

解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；

当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.

综上所述，k的取值范围是k≤4.

方法总结：由于k的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型四】二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合

已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.

(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；

(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．

解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．

(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；

(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.

方法总结：判断一元二次方程与x轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)?

(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取2＝5)?

解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得抛物线关系式．因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长．要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长．求解的方法有多种．

解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，

由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－.

所以函数表达式为y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1；

(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，

所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)．

所以足球第一次落地距守门员约13米；

(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)．