二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质教案

1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系；(重点)

2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)

一、情境导入

一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图，已知球在A处出手时离地面m，与篮筐中心C的水平距离是7m，当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度B处，高度为4m，设篮球运行的路线为抛物线．篮筐距地面3m.问此球能否投中？

二、合作探究

探究点：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的特点

关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是()

A．图象开口向上

B．图象的对称轴是直线x＝1

C．图象有最低点

D．图象的顶点坐标为(－1，2)

解析：∵－1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点．∵二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象的顶点是(－1，2)，∴对称轴是x＝－1.故选D.

方法总结：熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的性质

在二次函数y＝－(x－2)2＋3的图象上有两点(－1，y1)，(1，y2)，则y1－y2的值是()

A．负数 B．零

C．正数 D．不能确定

解析：∵二次函数y＝－(x－2)2＋3，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝2.∵点(－1，y1)，(1，y2)是二次函数y＝－(x－2)2＋3的图象上两点，且－1＜1＜2，∴两点都在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，∴y1－y2的值是负数．故选A.

方法总结：解决本题的关键是确定二次函数的对称轴，确定出对称轴后，在根据二次函数的增减性确定问题的答案．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型三】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象的关系

将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为()

A．y＝(x＋1)2＋1 B．y＝(x＋1)2－1

C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1

解析：抛物线y＝x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为(1，－1)，所以平移后的新图象的函数表达式为y＝(x－1)2－1.故选D.

方法总结：解决本题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型四】由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象确定a，k的取值范围

已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是()

解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.

方法总结：本题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型五】确定二次函数y＝a(x－h)2＋k的解析式

已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)写出它的开口方向、对称轴．

解析：根据顶点式设出解析式，再用待定系数法求二次函数的解析式，进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴．

解：(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2，把点(1，－3)代入解析式，得 a＝－，所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋2；

(2)由(1)的函数解析式可得抛物线的开口向下，对称轴为x＝－1.

方法总结：给出二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式是解题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

【类型六】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用

如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

解析：(1)根据所建坐标系易求M、P的坐标；(2)可设解析式为顶点式，把O点(或M点)坐标代入用待定系数法求出解析式；(3)总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为(m，0)，用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用二次函数性质求解．

解：(1)点M的坐标为(12，0)，点P的坐标为(6，6)；

(2)设抛物线解析式为y＝a(x－6)2＋6，∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋6，即a＝－，∴抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x；

(3)设点A的坐标为(m，0)，则点B的坐标为(12－m，0)，点C的坐标为(12－m，－m2＋2m)，点D的坐标为(m，－m2＋2m)．∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋2m)＋(12－2m)＋(－m2＋2m)＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.∵此二次函数的图象开口向下，∴当m＝3米时，“支撑架”的总长有最大值为15米．