确定二次函数的表达式教案

1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点)

2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点)

一、情境导入

一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，如图．AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm.你能确定右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式吗？

二、合作探究

探究点：用待定系数法确定二次函数解析式

【类型一】已知顶点坐标确定二次函数解析式

已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．

解析：因为抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式解答．

解：已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，∴此函数的解析式为y＝5(x－1)2－2.

方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型二】已知三个点确定二次函数解析式

已知：抛物线经过A(－1，8)、B(3，0)、C(0，3)三点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)写出该抛物线的顶点坐标．

解析：(1)设一般式y＝ax2＋bx＋c，再把A、B、C三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意得解得所以抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；

(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．

方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型三】已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式

已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．

(1)抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2；

(2)抛物线与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－)．

解析：(1)可设交点式y＝a(x－1)(x－3)，然后把B点坐标代入求出a即可；(2)可设交点式y＝a(x＋2)(x－4)，然后把点(1，－)代入求出a即可．

解：(1)∵对称轴是直线x＝2，∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把B(0，－3)代入得a(－1)(－3)＝－3，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3；

(2)设抛物线解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，把(1，－)代入得a(1＋2)(1－4)＝－，解得a＝，所以抛物线解析式为y＝(x＋2)(x－4)＝x2－x－4.

方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型四】二次函数解析式的综合运用

如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；

(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．

解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．

解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，∴c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴－＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；

(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝87＝28.